Wachstumsfunktionen

von Pflasterungen

Diplomarbeit

von

Sascha Andreas Rogmann

aus

Uedemerbruch am Niederrhein

Angefertigt am Mathematischen Institut

der

Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, 1997.

Einleitung

In dieser Arbeit untersuche ich Wachstumsfunktionen einiger Pflasterungen: Sei P ein Pflasterstein einer Pflasterung. Dann kann P in Schalen S_{1}, S_{2}, … von Pflastersteinen eingehüllt werden. Die Anzahlen a_{1}, a_{2}, … von Pflastersteinen in den einzelnen Schalen werden nun in Form einer Wachstumsreihe f(x) := ∑_{m=0}^{∞} a_{m}x^{m} geschrieben. Welche Eigenschaften besitzt f(x)? Mathematisch formuliert:

Definition: Eine Pflasterung* ist ein Paar (X, T ), wobei X ein topologischer Raum und T = (T_{λ})_{λ∈Λ} eine abzählbare Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit folgenden Eigenschaften ist:

a) T überdeckt ganz X, also X = ⋃_{λ∈Λ} T_{λ},

b) die Inneren der Mengen T_{λ} sind paarweise disjunkt. T ist die Familie der Pflastersteine.

Definition: Sei nun T_{μ} einer der Pflastersteine von T . Definiere induktiv

\begin{aligned}S_{0} & := \{T_{μ}\}, \\ S_{m+1} & := \{T_{λ} | T_{λ} ∉ S_{0} ∪ … ∪ S_{m} und T_{λ} ∩ ( ⋃_{P ∈S_{m}} P) ≠ ∅\} \end{aligned}

für alle m ≥ 0. S_{m} heißt die m-te Schale um T_{μ}.

Definition: Enthalten alle S_{m} nur endlich viele Pflastersteine, kann die Wachstumsreihe von (X, T ) um T_{μ} definiert werden:

f_{(X,T ),T_{μ}}(x) := ∑_{m=0}^{∞} #S_{m}x^{m} ∈ ℤ[[x]].

Bei vielen Wachstumsreihen stellt sich heraus, daß sie Reihenentwicklungen rationaler Funktionen sind, d.h., daß f_{(X,T ),T_{μ}}(x) ∈ ℚ(x). Daher spreche ich auch von Wachstumsfunktionen.

Andere Wachstumsfunktionsdefinitionen Die obige Definition einer Wachstumsfunktion ist rein topologisch und benutzt insbesondere keine eventuell vorhandenen Gruppenstrukturen. Auf eine andere Art wird die Wachstumsfunktion einer Gruppe G bzgl. eines endlichen Erzeugendensystems Σ für G definiert (siehe z.B. [Fl./Pl.1]): Auf G ist eine Wortnorm | · | = | · |_{Σ} gegeben durch |1_{G}| := 0 und |g| := min{n | g = g_{1} … g_{n} mit g_{i} ∈ Σ∪Σ^{−1} für alle i ∈ {1, …, n}}. Dann wird f(x) := 1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + … definiert, wobei a_{n} die Anzahl von Gruppenelementen der Norm n ist.

In [Cannon] wird der Cayleygraph Γ = (G, Σ, E) von G bzgl. Σ betrachtet: G ist die Menge der Ecken von Γ und E := {(g, h) | g^{−1}h ∈ Σ ∪ Σ^{−1}} die Menge der Kanten. Auf

* im Englischen tiling oder tessellation, manchmal auch tesselation Γ wird eine Metrik d_{Γ} definiert, indem jede Kante aus E die Länge 1 hat. Dann sei S_{n} die Menge der Elemente aus G mit d_{Γ}(g, 1_{G}) = n.

Bekannte Eigenschaften von Wachstumsfunktionen Cannon zeigte in [Cannon], daß die Wachstumsfunktion einer cokompakten hyperbolischen Gruppe mit einem endlichen Erzeugendensystem immer rational ist.

In den Arbeiten [Fl./Pl.1], [Fl./Pl.2], [Fl./Pl.3] und [Series] werden sogenannte geometrische Erzeugendensysteme betrachtet: Ein Erzeugendensystem heißt geometrisch, wenn es die Menge der Kantenverklebungen eines polygonförmigen Fundamentalbereichs von G in der hyperbolischen Ebene IH^{2} ist. In [Series] wird die Rationalität von nicht-cokompakten Gruppen mit geometrischen Erzeugendensystem gezeigt (wobei die Gruppen zusätzlich noch gerade Ecken aufweisen müssen, was bedeutet, daß die Verlängerung einer Polygonkante der Pflasterung zu einer Geraden vollständig in der Menge der Polygonkanten der Pflasterung liegt). In der Schalensprechweise bedeutet geometrisches Erzeugendensystem, daß ein Polygon genau dann zur n+1-ten Schale gehört, wenn es mindestens eine ganze Kante mit der n-ten Schale gemeinsam hat. Neben der Rationalität werden in diesen Arbeiten die Null- und Polstellenverteilungen, die Symmetrie und der Funktionswert an der Stelle 1 der Wachstumsfunktionen untersucht. Die in dieser Arbeit berechneten Wachstumsfunktionen (bei denen ein Polygon bereits zur n+1-ten Schale gehört, wenn es nur eine Ecke mit der n-ten Schale gemeinsam hat) weisen in diesen Kategorien jeweils ähnliche oder sogar die gleichen Phänomene auf.

Aufbau und Inhalt der Arbeit In dieser Arbeit ist der topologische Raum X meist die hyperbolische Ebene IH^{2}, die euklidische Ebene IE^{2} oder der dreidimensionale hyperbolische Raum IH^{3}, und die Pflastersteine sind konvexe Polygone bzw. Polyeder.

Viele der betrachteten Pflasterungen entstehen als Fundamentalbereichspflasterungen von Untergruppen von Isometriegruppen. Dazu zählen beispielsweise folgende Gruppen:

• ℤ × ℤ, π_{1}(𝕋^{g}) (Fundamentalgruppe des Torus mit Geschlecht g)

• die Dreiecksgruppen (p, q, r)

• PSL_{2}(ℤ) und einige Γ̄^{0}(n) Viele Pflasterungen haben nur eine Pflastersteinart. Dazu zählen u.a. die Pflasterungen, die folgende Bausteine als Pflastersteine besitzen:

• Einer der fünf Platonischen Körper:

∘ 60^{∘}-Tetraeder,

∘ 90^{∘}-Oktaeder (Whitehead-Link Komplement), ∘ 90^{∘}-Würfel, 72^{∘}-Würfel, 60^{∘}-Würfel, ∘ 90^{∘}-Dodekaeder, 72^{∘}-Dodekaeder, 60^{∘}-Dodekaeder, ∘ 120^{∘}-Ikosaeder (dessen Wachstumsfunktion habe ich nicht berechnet). Der Winkel gibt den Kantenwinkel an, der sich im hyperbolischen Raum je nach Radius des Körpers ändert.

• 90^{∘}-Fußball (≃ abgestumpfter Ikosaeder)

• 90^{∘}-Paciolipolyeder (≃ Rhombischer Kuboktaeder) Einige der betrachteten Pflasterungen enthalten verschiedene Bausteinarten, z.B.

• quasireguläre Pflasterungen,

• quasiquasireguläre Pflasterungen.

Bei diesen Pflasterungen ist die Wachstumsfunktion rational und wird explizit ausgerechnet. Beim 120^{∘}-Ikosaeder vermute ich, daß die Wachstumsfunktion ebenfalls rational ist.

Im ersten Kapitel wird die in dieser Arbeit benutzte Terminologie und Vorgehensweise schrittweise eingeführt. Das Kapitel beginnt mit der Quadratpflasterung und endet mit der Berechnung der Wachstumsfunktion der (2, 3, r)-Dreieckspflasterung. Im zweiten Kapitel werden die Wachstumsfunktionen verschiedener sphärischer, euklidischer und insbesondere hyperbolischer Dreieckspflasterungen bestimmt. Das dritte Kapitel handelt hauptsächlich von verschiedenen Pflasterungen der Kongruenzuntergruppen PSL_{2}(ℤ), Γ̄^{0}(2), Γ̄^{0}(3) und Γ̄^{0}(5). Im vierten Kapitel werden Pflasterungen von kompakten und von nicht-kompakten Polyedern vorgestellt. Im fünften Kapitel betrachte ich ebene Pflasterungen mit verschiedenen Pflastersteinen in einer Pflasterung. Das sechste Kapitel zeigt Beispiele nicht-rationaler Wachstumsfunktionen. Ferner werden drei zur 120^{∘}-Sechseckpflasterung äquivalente Pflasterungen vorgestellt. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit Eigenschaften von Wachstumsfunktionen. Unter anderem werden die zuvor bestimmten rationalen Wachstumsfunktionen hinsichtlich Symmetrie, Null- und Polstellen sowie die Funktionswerte in der Stelle 1 untersucht.

Der Arbeit folgen zwei Anhänge. Der erste Anhang enthält eine Auflistung der in dieser Arbeit berechneten Wachstumsfunktionen sowie deren Null- und Polstellen, Funktionswerte in 1 und Residuen bei 1. Der zweite Anhang besteht aus Bildern, die bereits in der Arbeit vorkamen und nun als Stereogramme in Form hyperbolischer Anaglyphen dargestellt werden. Ich erzeugte die Bilder, indem ich zwei Augen nebeneinander im hyperbolischen Raum positionierte und das, was diese beiden Augen sahen, in zwei verschiedenen Farben in einem Bild darstellte. Die im Umschlag beigefügte 3D-Brille versetzt den Betrachter in die Lage der zwei hyperbolischen Augen: sein linkes Auge sieht das, was das linke hyperbolische Auge sieht, sein rechtes Auge hat das Sichtfeld des rechten hyperbolischen Auges vor sich.

Nach einiger Zeit sollte das Dargestellte ca. 7 bis 20 cm über der Blattoberfläche sichtbar werden. Die Bilder dienen zum besseren Verständnis der räumlichen Anordnung der Polyederkanten. Die hyperbolischen Anaglyphen haben allerdings die Eigenschaft, daß ab einer gewissen Entfernung alle weiteren Kanten in einer einzigen Schale zu sein scheinen. Dies liegt daran, daß im hyperbolischen Raum viel mehr Platz ist (vgl. z.B. das hyperbolische Kugelvolumen π(sinh(2r)−2r) ∼ \frac{π}{2} e^{2r} mit dem euklidischen Volumen \frac{4}{3}πr^{3} oder das Wachstum der euklidischen Würfelpflasterung mit dem Wachstum einer Dodekaederpflasterung) und daher alles gedrängter erscheint.

Zur Entstehungsgeschichte dieser Diplomarbeit Die Lektüre des Buchs ”Faszination Mathematik“ von Serge Lang [Lang], das Geometry-Center Video ”Not Knot“ [NotKnot] und ein im März 1994 von mir programmierter Flugsimulator hatten im Spätsommer 1994 zur Folge, daß ich einen hyperbolischen Flugsimulator schrieb, mit dem ich von da an mit Hilfe eines Rechners hyperbolische Räume und Knotenkomplemente in Echtzeit animiert visualisierte. Im Herbst 1994 erklärte mir Herr Prof. Dr. Fritz Grunewald den Begriff der Wachstumsfunktion, von dem ich bis dahin nie etwas gehört hatte, und regte mich im Dezember 1994 dazu an, doch einmal die Wachstumsfunktion einer 90^{∘}-Dodekaederpflasterung auszurechnen. Dies war der Grundstein dieser Diplomarbeit (obgleich ich zu der Zeit noch nicht wußte, daß daraus einmal eine Diplomarbeit wird). Das Programm und die Bilder entstanden zuerst auf einem Amiga 4000/040 und später auf einem Linux-PC. Das Programm ist in C geschrieben und gibt die Bilder als PostScript-Datei aus. Die Bilder wurden mit psfig.sty ins TEX-File eingebunden oder mit xfig weiterverarbeitet. Die Ausgabe dieser Arbeit erfolgte via dvips und ghostscript auf einem EPSON Stylus COLOR 800-Tintenstrahldrucker.

Dank Mein herzlicher Dank gilt Herrn Prof. Dr. Fritz Grunewald für dieses interessante Thema, welches mir sehr viel Freude bereitet hat, und für seine fruchtbaren Denkanstöße während unserer Gespräche.

Ohne die Unterstützung durch die Studienstiftung des deutschen Volkes hätte die Arbeit in dieser Form nicht entstehen können.

Dr. Wolfgang Huntebrinker und Dipl.-Math. Jens Hoekstra danke ich für die guten Ratschläge und das Korrekturlesen meiner Arbeit.

Inhaltsverzeichnis

1 Vom Quadrat zum Dreieck 1 §1.1. Wachstumsfunktion der Quadratpflasterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2. Rechtwinklige regelmäßige Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §1.3. Spitzwinklige regelmäßige Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §1.4. Ideale regelmäßige Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §1.5. Stumpfwinklige regelmäßige Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §1.6. Wachstumsfunktionen rechtwinkliger Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Dreieckspflasterungen 33 §2.1. Winkelsumme von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §2.2. Rechtwinklige Dreieckspflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Sphärische rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2. Euklidische rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Hyperbolische rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

§2.3. Spitzwinklige Dreieckspflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §2.4. Einige gleichschenklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §2.5. Gleichseitige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §2.6. Nichtkompakte Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Einige Untergruppen von PSL_{2}(ℤ) 52 §3.1. Ideale Fundamentalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §3.2. Vergleich verschiedener Fundamentalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1. PSL_{2}(ℤ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2. Γ̄^{0}(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.3. Γ̄^{0}(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.4. Γ̄^{0}(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Dreidimensionale Pflasterungen 68 §4.1. Euklidische Würfelpflasterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.2. Kompakte Dodekaeder- und Würfelpflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. Modelle des IH^{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2. 90^{∘}-Dodekaederpflasterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.3. 72^{∘}-Würfelpflasterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.4. Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.5. 90^{∘}-Dodekaederpflasterung mit achtelementiger 0-ter Schale . . 77 4.2.6. Eckenwachstum der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung . . . . . . . . . . . 78 4.2.7. 72^{∘}-Dodekaederpflasterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

§4.3. Pflasternde Fußbälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §4.4. Nichtkompakte Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.1. 60^{∘}-Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.2. 60^{∘}-Dodekaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.3. 60^{∘}-Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4.4. 90^{∘}-Oktaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4.5. 90^{∘}-Paciolipolyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Pflasterungen mit verschiedenen Bausteinen 91 §5.1. Quasireguläre Polygonpflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §5.2. Quasiquasireguläre Pflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6 Nichtrationale Wachstumsfunktionen, Äquivalenzbeispiel 94

§6.1. Nichtrationale Pflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §6.2. Beispiel äquivalenter Pflasterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 Eigenschaften der Wachstumsfunktionen 96 §7.1. Rekursivität, Differenzenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 §7.2. Welche Wachstumsreihen gibt es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §7.3. Wahl des Grundbausteins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §7.4. Symmetrien der Wachstumsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §7.5. Null- und Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 §7.6. Werte in 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 100

Anhang B: Hyperbolische Anaglyphen 114

Literatur 120

Index 122

Kapitel 1: Vom Quadrat zum Dreieck

Ziel dieses Kapitels ist das Berechnen der Wachstumsfunktionen von Dreieckspflasterungen (2, 3, r) für 6 ≤ r < ∞. Der Weg dorthin beginnt bei der einfachsten Pflasterung*, der Quadratpflasterung. Dann führt der Weg durch das Gebiet der regelmäßigen Polygone, vorbei an rechtwinkligen und vorbei an spitzwinkligen hin zu den stumpfwinkligen regelmäßigen Polygonen. Von diesem Punkt aus gibt es eine sehr gute Sicht auf die Dreieckspflasterungen (2, 3, r).

§1.1. Wachstumsfunktion der Quadratpflasterung

Die Quadratpflasterung (oder ein endlicher Ausschnitt von ihr) begegnet uns fast täglich: bei der Badezimmerkachelung, dem karierten Papier oder dem ∞ × ∞-Felder großen Riesenschachbrett.

⋮

… Figure  …

⋮

Auf den nächsten zwei Seiten werde ich beschreiben, was diese Pflasterung mit der Funktion \frac{1+6x+x^{2}}{1−2x+x^{2}} zu tun hat.

* Genau genommen gibt es natürlich noch einfachere Pflasterungen. Ein Beispiel ist die Unpflasterung der Ebene, deren einziger Baustein die Ebene selbst ist. Aber diese Pflasterung ist zu einfach, es käme nur 1 heraus.

Zwei Quadrate sind benachbart, wenn sie mindestens eine Ecke gemeinsam haben. Daher hat das schwarze Quadrat in der Mitte acht Nachbarn. Diese Nachbarn bilden die erste Schale.

Figure

In der zweiten Schale befinden sich 16 Quadrate, dies sind acht mehr als in der ersten Schale.

Figure

Wo kommen die acht neuen Quadrate her? Eine Erklärungsmöglichkeit ist die folgende. Ich unterteile die Quadrate in zwei Arten: Kantenquadrate und Eckquadrate. Die Kantenquadrate markiere ich mit einer 1 und die Eckquadrate mit einer 2.

Figure^{2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1  1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2}

Figure {1 \atop 1}

Beim schalenweisen Pflastern wird dann aus einen Kantenquadrat wieder ein Kantenquadrat und aus einem Eckquadrat entstehen zwei Kantenquadrate und ein Eckquadrat (siehe Skizzen links und rechts).

Figure^{1 2 2 1}

§1.1. Wachstumsfunktion der Quadratpflasterung 3

Weil in jeder Schale genau vier Eckquadrate vorliegen, kommen in jeder neuen Schale 2 · 4 = 8 neue Kantenquadrate hinzu.

Es gibt also in der ersten Schale 8 Quadrate, in der zweiten Schale 16 Quadrate, in der dritten Schale 24 Quadrate und in der n-ten Schale genau 8n Quadrate. Eine Ausnahme ist die nullte Schale, sie besteht aus dem Ausgangsquadrat in der Mitte. Die Anzahl der Quadrate in den Schalen schreibe ich nun in Form einer formalen Reihe aus ℤ[[x]], dabei gibt der Koeffizient von x^{i} die Anzahl von Quadraten in der i-ten Schale an:

f(x) = 1 + 8x + 16x^{2} + 24x^{3} + 32x^{4} + ….

Die Multiplikation zweier geometrischer Reihen liefert folgende Identität (∗):

\frac{1}{(1 − x)^{2}} = \frac{1}{1 − x} · \frac{1}{1 − x} = (∑_{i=0}^{∞} x^{i})(∑_{j=0}^{∞} x^{j}) = ∑_{n=0}^{∞}(∑_{k=0}^{n} 1^{2})x^{n} = ∑_{n=0}^{∞} (n + 1)x^{n}.

Mit dieser Gleichung kann nun f(x) umgeformt werden:

f(x) = 1 + 8x + 16x^{2} + 24x^{3} + 32x^{4} + … = 1 + 8x(1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + …)

{(∗) \atop =} 1 + 8x\frac{1}{(1 − x)^{2}} = \frac{(1 − x)^{2} + 8x}{(1 − x)^{2}}

= \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 2x + x^{2}} .

Damit habe ich der Quadratpflasterung die rationale Funktion f(x) = \frac{1+6x+x^{2}}{1−2x+x^{2}} ∈ ℚ(x) zugeordnet. Für diese Pflasterung gilt also:

Die Reihenentwicklung einer rationalen Funktion liefert das genaue Wachstum.

⋮ ; … Figure  …; ⋮ ⇝ \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 2x + x^{2}}

4 1. Vom Quadrat zum Dreieck

§1.2. Rechtwinklige regelmäßige Polygone

Der Weg führt nun in das Reich der hyperbolischen Geometrie, wo es rechtwinklige regelmäßige Polygone mit mehr als vier Ecken gibt.

§1.2. Rechtwinklige regelmäßige Polygone 5

Figure Auf Seite 4 sind oben die ersten vier Schalen einer Pflasterung von rechtwinkligen regelmäßigen Fünfecken zu sehen. Zur Darstellung habe ich das konforme Kreismodell benutzt (siehe S. 54). Unter den Fünfecken sind die ersten drei Schalen einer Pflasterung von rechtwinkligen regelmäßigen Sechsecken. Auf dieser Seite sind noch die ersten zwei Schalen einer rechtwinkligen Siebeneck- und einer Achteckpflasterung.

Figure  Figure

Sei also im Folgenden die hyperbolische Ebene mit einem rechtwinkligen regelmäßigen n-eckigen Polygon mit n ≥ 5 gepflastert. Dabei sollen die Polygone kantenweise verklebt sein:

Figure^{Verklebung kantenweise  Pflasterungen mit solchen Verklebungen werden weiter hinten betrachtet (siehe z.B. §3.2.)}

Da das Polygon regelmäßig ist — alle seine Kanten und Ecken sind gleich — hat es die 2n-elementige Diedergruppe als Symmetriegruppe. Aufgrund der Gleichheit aller Kanten ist beim Zusammenkleben zweier Polygone egal, welche Kanten verklebt werden. Die Pflasterung ist bis auf Isometrie eindeutig bestimmt.

Da alle Ecken rechtwinklig sind, kommen an jeder Ecke genau vier Polygone zusammen:

Figure  Figure  Figure  …

Sei F das Ausgangspolygon der Pflasterung (die nullte Schale). An jeder Kante befindet sich ein Polygon der ersten Schale. Polygone, die eine ganze Kante (welche ich als Grundkante bezeichne) mit der vorigen Schale gemeinsam haben, nenne ich Kantenpolygone. An jeder Ecke von F befinden sich F selbst, zwei Kantenpolygone und ein weiteres Polygon, welches ich Eckpolygon nenne, da es nur eine Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Insgesamt befinden sich in der ersten Schale n Kantenpolygone und n Eckpolygone.

Figure  F  Figure

Wie bei der Quadratpflasterung markiere ich die Kantenpolygone mit einer 1 und die Eckpolygone mit einer 2. Im Bild habe ich die Markierungen in eine Fünfeckpflasterung eingetragen:

Figure^{1 1 2  1 2 2 1  1 2^{1}  ^{1} ^{1}^{1}^{2} ^{2} ^{1}^{2} ^{1} ^{1} ^{2} ^{1} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2}^{1}  ^{2}^{1} ^{2}^{1}^{1}  ^{1} ^{2}  ^{1} ^{1} ^{2}^{2} ^{2}^{1} ^{1}  ^{1} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2}^{1}  ^{2}^{1} ^{1} 2}

Im Folgenden betrachte ich die Pflasterung durch Induktion über die einzelnen Schalen.

Induktionsanfang: Die erste Schale besteht aus n Kantenpolygonen und n Eckpolygonen. An den Stellen des äußeren Randes, wo zwei Polygone zusammentreffen, liegt ein 180^{∘}-Winkel vor (der Rand ist dort gerade), denn beide Polygone haben an den Ecken nur 90^{∘}-Winkel. An den restlichen Ecken des Randes gibt es nur 90^{∘}-Winkel. Daher ist der äußere Rand der ersten Schale hyperbolisch konvex*.

Induktionsannahme: Sei r ≥ 1 und die r-te Schale bestehe aus Kanten- und Eckpolygonen, jedes Polygon der r-ten Schale habe mit genau zwei Nachbarn derselben Schale jeweils eine Kante gemeinsam. Ferner sei der äußere Rand der r-ten Schale konvex. Induktionsschluß: 1. Zuerst schaue ich mir ein Kantenpolygon P in der r-ten Schale an.

Figure^{^{1}^{2}^{1} 1^{P}  ^{G}^{G}}  ^{⟵ Bsp.: blaues Kantenpolygon der Fünfeckpflasterung}

Es hat eine Kante mit der vorigen Schale und zwei Kanten mit Polygonen derselben Schale gemeinsam. Daher hat es genau n − 3 Kanten, welche auch Kanten des äußeren Randes der r-ten Schale sind. An jeder der n − 3 äußeren Kanten befindet sich in der nächsten (der r + 1-ten, in der Skizze orangen) Schale ein Kantenpolygon. An den beiden Randecken von P (in der Skizze mit zwei rechten Winkeln markiert) befinden sich in der nächsten Schale keine Eckpolygone, weil der Schalenrand dort 180^{∘}- Winkel aufweist und somit dort in der nächsten Schale nur Kantenpolygone sind. Zwei Ecken von P gehören auch zur vorigen Schale, und zwei Ecken von P sind die gerade erwähnten Randecken. Die n − 4 übrigen Ecken sind Ecken im äußeren Rand der r-ten Schale, die in der r-ten Schale nur zu P gehören. An jeder dieser n − 4 Ecken befindet sich in der nächsten Schale genau ein Eckpolygon. Damit entstehen aus einem Kantenpolygon in der nächsten Schale genau n − 3 Kantenpolygone und n − 4 Eckpolygone. Der äußere Rand dieser n − 3 und n − 4 Polygone ist konvex, weil dort nur 90^{∘} und 180^{∘}-Winkel auftreten. An der Grenze (die beiden Grenzecken sind in der Skizze mit kleinen Gs markiert) sind 180^{∘}-Winkel, da sich an den beiden mit einem rechten Winkel gekennzeichneten Ecken nur Kantenpolygone befinden.

* In dieser Arbeit ist im hyperbolischen Raum mit konvex immer hyperbolisch konvex gemeint.

2. Nun betrachte ich ein Eckpolygon P in der r-ten Schale. Die Vorgehensweise entspricht der beim Kantenpolygon.

Figure  ^{2^{1}  ^{1}^{2}  ^{2}^{1}^{G}  ^{G}^{P}}  ^{⟵ Bsp.: blaues Eckpolygon der Fünfeckpflasterung}

P hat nur eine Ecke mit der vorigen Schale und zwei Kanten mit Polygonen derselben Schale gemeinsam. Daher hat es genau n − 2 Kanten, welche auch Kanten des äußeren Randes der r-ten Schale sind. An jeder der n − 2 äußeren Kanten befindet sich in der nächsten Schale ein Kantenpolygon. An den beiden Randecken von P (in der Skizze mit rechten Winkeln markiert) befinden sich in der nächsten Schale keine Eckpolygone, weil der Rand dort 180^{∘}-Winkel aufweist und somit dort in der r + 1-ten Schale nur Kantenpolygone sind. Eine Ecke von P gehört auch zur vorigen Schale, und die zwei Nachbarecken dieser Ecke sind die Randecken von P. Die n − 3 übrigen Ecken sind Ecken im äußeren Rand der r-ten Schale, die in der r-ten Schale nur zu P gehören. An jeder dieser n − 3 Ecken befindet sich in der nächsten Schale genau ein Eckpolygon. Damit entstehen aus einem Eckpolygon in der nächsten Schale genau n − 2 Kantenpolygone und n − 3 Eckpolygone. Der äußere Rand dieser n − 2 und n − 3 Polygone ist konvex, da dort nur 90^{∘} und 180^{∘}-Winkel auftreten. An der Grenze (die beiden Grenzecken sind mit zwei kleinen Gs markiert) befinden sich 180^{∘}-Winkel, weil an den beiden mit einem rechten Winkel gekennzeichneten Ecken nur Kantenpolygone sind.

3. Damit besteht die r + 1-te Schale nur aus Kanten- und Eckpolygonen, wobei jedes Polygon der r + 1-ten Schale mit genau zwei Nachbarn derselben Schale jeweils eine Kante gemeinsam hat. Ferner ist der äußere Rand der r + 1-ten Schale konvex.

Nun kann die Wachstumsfunktion bestimmt werden.

Falls es in einer Schale genau a Kanten- und b Eckpolygone gibt, so schreibe ich dies in Form eines Spaltenvektors ({a \atop b}). Aus den a Kantenpolygonen entstehen in der nächsten Schale (n − 3)a Kanten- und (n − 4)a Eckpolygone, aus den b Eckpolygonen entstehen in der nächsten Schale (n − 2)b Kanten- und (n − 3)b Eckpolygone. Zusammen sind dies a′ = (n − 3)a + (n − 2)b Kanten- und b′ = (n − 4)a + (n − 3)b Eckpolygone, in Vektorschreibweise:

( \begin{matrix}a′ \\ b′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(n − 3)a + (n − 2)b \\ (n − 4)a + (n − 3)b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}n − 3 & n − 2 \\ n − 4 & n − 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) .

Die Matrix A := ( \begin{matrix}n − 3 & n − 2 \\ n − 4 & n − 3 \end{matrix} ) nenne ich Wachstumsmatrix. In der ersten Schale befinden sich n Kantenpolygone und n Eckpolygone, in Vektorschreibweise: ({n \atop n}). Insgesamt gibt es in der ersten Schale daher

a_{1} := ( 1 1 ) · ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) = 2n Polygone.

In der r-ten Schale (r ≥ 1) sind genau

a_{r} := ( 1 1 ) · A^{r−1} · ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) Polygone.

Die Wachstumsfunktion läßt sich nun wie folgt berechnen (in einem Zwischenschritt wird die Matrizeninversenformel ({a b \atop c d}) = (ad − bc)^{−1}({d −b \atop −c a}) benutzt):

f_{\{n,4\}}(x) = 1 + ∑_{r=1}^{∞} a_{r}x^{r} = 1 + ( 1 1 ) (∑_{r=1}^{∞} A^{r−1}x^{r}) ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} )

= 1 + ( 1 1 ) (∑_{r=1}^{∞}(Ax)^{r−1}) ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) x = 1 + ( 1 1 ) (1 − Ax)^{−1} ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) x

= 1 + ( 1 1 ) ( \begin{matrix}1 − (n − 3)x & −(n − 2)x \\ −(n − 4)x & 1 − (n − 3)x \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) x

= 1 + ( 1 1 ) ((1 − (n − 3)x)^{2} − (n − 2)(n − 4)x^{2})^{−1}

( \begin{matrix}1 − (n − 3)x & (n − 2)x \\ (n − 4)x & 1 − (n − 3)x \end{matrix} ) ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) x

= 1 + \frac{( 1 1 ) ( \begin{matrix}1 + x \\ 1 − x \end{matrix} ) nx}{1 − 2(n − 3)x + ((n − 3)^{2} − (n − 2)(n − 4))x^{2}}

= \frac{(1 − 2(n − 3)x + x^{2}) + 2nx}{1 − 2(n − 3)x + x^{2}} = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 2(n − 3)x + x^{2}} .

Damit ist f_{\{n,4\}}(x) = \frac{1+6x+x^{2}}{1−2(n−3)x+x^{2}} = 1 + 2nx + 4n(n − 3)x^{2} + … die rationale Wachstumsfunktion einer Pflasterung von rechtwinkligen regelmäßigen n-Ecken (n ≥ 4). Interessant ist die Unabhängigkeit des Zählers von n.

\begin{aligned}f_{\{5,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 4x + x^{2}} = 1 + 10x + 40x^{2} + 150x^{3} + 560x^{4} + …, \\ f_{\{6,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 6x + x^{2}} = 1 + 12x + 72x^{2} + 420x^{3} + 2448x^{4} + …. \end{aligned}

§1.3. Spitzwinklige regelmäßige Polygone

Wenn ich hyperbolische rechtwinklige regelmäßige Polygone nehme und ”aufpumpe“, d.h., wenn ich ihren Radius vergrößere, werden die Innenwinkel kleiner:

Figure  ⇝ Figure  ⇝ Figure  ⇝ …

So erhalte ich insbesondere die spitzwinkligen regelmäßigen Polygone mit den Innenwinkeln \frac{2π}{5} = 72^{∘}, \frac{2π}{6} = 60^{∘}, \frac{2π}{7} ≈ 51.4^{∘}, . . .. Ein regelmäßiges hyperbolisches Polygon kann sogar so stark ”aufgepumpt“ werden, daß sich seine Ecken im Unendlichen befinden und die Innenwinkel dann 0^{∘}-Winkel sind:

Figure

Im konformen Kreismodell (siehe auch S. 54) befinden sich die Eckpunkte dann auf dem Rand der Kreisscheibe.

Sei also P ein regelmäßiges Polygon mit n ≥ 4 Ecken und dem Innenwinkel α = \frac{2π}{m} mit m ≥ 5. Eine kleine Bemerkung zum Fall n = 4: Mit Quadrat bezeichne ich ein viereckiges Polygon, bei dem alle Seiten gleichlang und alle Winkel gleichgroß sind. Ein Quadrat mit vier rechten Winkeln gibt es in der hyperbolischen Ebene nicht, es hätte dort den Radius 0. Da die hyperbolische Geometrie sich im ganz Kleinen fast wie die euklidische Geometrie verhält, gibt es aber Quadrate mit Innenwinkeln 90^{∘} − ε, wobei ε > 0 beliebig klein werden kann. Hyperbolische Quadrate können jeden Innenwinkel in [0^{∘}, 90^{∘}[ annehmen.

Auf der folgenden Seite sind die ersten vier Pflasterungen von Torus-Fundamentalbe-reichen zu sehen: Ein regelmäßiges 4g-Eck mit den Innenwinkeln \frac{2π}{4g} = \frac{π}{2g} ist ein Fundamentalbereich der Fundamentalgruppe π_{1}(𝕋^{g}) des Torus vom Geschlecht g ∈ {1, 2, 3, 4, …}.

Auf den Seiten 12 und 13 sind Pflasterungen von Quadraten, regelmäßigen Fünfecken, Sechsecken und Siebenecken jeweils mit den Winkeln \frac{2π}{5} , \frac{2π}{6} und \frac{2π}{7} .

§1.3. Spitzwinklige regelmäßige Polygone 11

Figure Figure

Figure  Figure  …

Figure  Figure

Figure  Figure

Figure  Figure

Figure  Figure

Die Wachstumsfunktion einer Pflasterung von spitzwinkligen regelmäßigen Polygonen wird genauso wie im Fall der rechtwinkligen regelmäßigen Polygone bestimmt:

Sei im Folgenden die hyperbolische Ebene mit einem regelmäßigen n-eckigen Polygon mit Innenwinkel \frac{2π}{m} mit m ≥ 5 gepflastert. Die Polygone sollen kantenweise verklebt sein. Das Polygon, mit dem gepflastert wird, ist regelmäßig, d.h., alle seine Kanten und Ecken sind gleich, und es hat die 2n-elementige Diedergruppe als Symmetriegruppe. Aufgrund der Regelmäßigkeit ist es wie bei den vorhin betrachteten rechtwinkligen Polygonen egal, welche Kanten verklebt werden. Die Pflasterung ist bis auf Isometrie eindeutig bestimmt.

Da alle Ecken den Winkel \frac{2π}{m} aufweisen, kommen an jeder Ecke genau m Polygone zusammen.

Figure  Figure  Figure  …

Figure  Figure  Figure  …

⋮  ⋮  ⋮  ...

Sei F das Ausgangspolygon (also die nullte Schale). Die Polygone der ersten, zweiten und weiteren Schalen unterteile ich wieder in Kanten- und Eckpolygone. Beispiel: Polygontypen in der 72^{∘}-Quadratpflasterung.

Figure^{1 2 2 1 2  ^{1}^{1}^{1}^{1}^{1} 2^{2}^{2}  ^{2}^{1}  ^{1}^{2}  ^{2}^{2} 2  ^{2}  ^{1}^{1}^{1}^{2}  ^{2}^{2}^{2}  ^{2}^{1}^{2}^{1}^{2}^{2} ^{1}^{2} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2} ^{2}^{1} ^{2}^{1} ^{2} 2^{2}  ^{1} 2 2  ^{2}^{2}^{2}^{2}^{F} 1  1}

Nun werden die Schalen wieder induktiv betrachtet: Schale 1: Die erste Schale besteht aus n Kantenpolygonen und n·(m−3) Eckpolygonen. Zur Konvexität des äußeren Randes der ersten Schale: An den Stellen, wo zwei Polygone zusammentreffen, liegt ein 2 · \frac{2π}{m} -Winkel vor, die restlichen Ecken haben \frac{2π}{m} -Winkel.

Schale r → r + 1: Es sei r ≥ 1 und die r-te Schale bestehe aus Kanten- und Eckpolygonen, jedes Polygon der r-ten Schale habe mit genau zwei Nachbarn derselben Schale jeweils eine Kante gemeinsam. Ferner sei der äußere Rand der r-ten Schale konvex und habe nur Ecken mit den Winkeln \frac{2π}{m} und \frac{4π}{m}.

1. Sei P ein Kantenpolygon in der r-ten Schale. Da P ein Kantenpolygon ist, hat es genau eine Kante — seine Grundkante — mit der vorigen Schale gemeinsam. Es gibt zwei Nachbarn in der r-ten Schale, mit denen P jeweils eine Kante gemeinsam hat. Diese Nachbarn nenne ich P_{l} und P_{r}. Da P insgesamt n Kanten hat, sind die restlichen n − 3 Kanten Grundkanten von Kantenpolygonen der nächsten Schale. Beispiel: Links ist die 60^{∘}-Quadratpflasterung (n = 4 und m = 6) und rechts die 60^{∘}-Fünfeckpflasterung (n = 5 und m = 6) abgebildet.

Figure ^{P_{l}  P_{r} 1^{2} ^{2}  ^{2} ^{2} P^{v_{l}}  ^{v_{r}}}  Figure^{P  P_{r} P_{l}  1  1^{2} ^{2}  ^{2}^{2}  ^{2}^{2}  ^{2} v_{l}  v_{r}}

Das Kantenpolygon P hat genau n Ecken. Zwei davon gehören zur Grundkante von P. Zwei weitere (v_{l} und v_{r} wie in der Skizze) befinden sich auf der Schalengrenze zur nächsten Schale, dort, wo P und P_{l} bzw. P und P_{r} zusammenstoßen. An der Ecke v_{l} sind in der r + 1-ten Schale m − 4 Eckpolygone: Denn insgesamt befinden sich an der Ecke m Polygone, darunter sind aber auch P selbst, P_{l} und die beiden Kantenpolygone an P und P_{l} in der r + 1-ten Schale. Diese m − 4 Eckpolygone haben keine eindeutig bestimmten Vorgänger in der r-ten Schale, die Polygone P und P_{l} ”teilen“ sich sozusagen die m − 4 Eckpolygone. Beim Aufstellen der Wachstumsmatrix sage ich deshalb beim Typ von P (dem Kantentyp) als auch beim Typ von P_{l}, daß an der Ecke nicht m − 4 Eckpolygone sind, sondern nur (m − 4)/2. Zusammen ergibt sich dann wieder m − 4. Ebenso sage ich, daß sich an der Ecke v_{r} genau (m − 4)/2 und nicht m − 4 Eckpolygone befinden. Die restlichen n − 4 Ecken von P haben keinen Kontakt zu anderen Polygonen der rten Schale. An jeder dieser n − 4 Ecken befinden sich in der nächsten Schale m − 3 Eckpolygone.

2. Sei P nun ein Eckpolygon in der r-ten Schale. P hat keine Kante, sondern nur eine Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam. Auch P hat zwei Nachbarn, welche ich mit P_{l} und P_{r} bezeichnet habe. Mit beiden hat P genau eine Kante gemeinsam. Die restlichen n − 2 Kanten sind Grundkanten von Kantenpolygonen der r + 1-ten Schale. Beispiel: Links ist wieder die 60^{∘}-Quadratpflasterung (n = 4, m = 6) und rechts die

60^{∘}-Fünfeckpflasterung (n = 5, m = 6).

Figure^{P  P_{r} P_{l}  ^{2} ^{2} 1 ^{2}  ^{2}^{2} ^{2}1 ^{2}^{v_{l}}  ^{v_{r}}}  Figure^{P  P_{r} P_{l}  1 ^{1}^{2}  ^{2}^{2}  ^{2} 1^{2}^{2}^{2}^{2} ^{2}^{2}^{v_{l}}  ^{v_{r}}}

An den beiden Ecken v_{l} und v_{r} befinden sich jeweils genau m − 4 Eckpolygone in der r + 1-ten Schale. Da sich P und P_{l} bzw. P und P_{r} aber diese m − 4 Ecken teilen, sage ich beim Erstellen der Wachstumsmatrix, daß sich dort jeweis genau (m − 4)/2 Eckpolygone in der nächsten Schale befinden. An den restlichen n − 3 Ecken befinden sich jeweils genau m − 3 Eckpolygone in der nächsten Schale.

3. Da alle Winkel und sogar alle doppelten Winkel ≤ 180^{∘} sind, ist auch die r + 1-te Schale konvex.

In der ersten Schale sind genau n Kantenpolygone und n(m−3) Eckpolygone. Der erste Schalenvektor lautet daher

v_{1} = ( \begin{matrix}n \\ n(m − 3) \end{matrix} ) .

Aus einem Kantenpolygon werden in der nächsten Schale n − 3 Kantenpolygone und 2 · (m − 4)/2 + (n − 4)(m − 3) Eckpolygone. Aus einem Eckpolygon werden in der nächsten Schale n − 2 Kantenpolygone und 2 · (m − 4)/2 + (n − 3)(m − 3) Eckpolygone. Die Wachstumsmatrix lautet daher

\begin{aligned}A & = ( \begin{matrix}n − 3 & n − 2 \\ (m − 4) + (n − 4)(m − 3) & (m − 4) + (n − 3)(m − 3) \end{matrix} ) \\ & = ( \begin{matrix}n − 3 & n − 2 \\ mn − 3n − 3m + 8 & mn − 3n − 2m + 5 \end{matrix} ) . \end{aligned}

Die Wachstumsfunktion lautet dann

f(x) = 1 + ( 1 1 ) (1 − Ax)^{−1}xv_{1} = … (Rechnung analog zum Fall m = 4)

= \frac{1 + 2(m − 1)x + x^{2}}{1 − (mn − 2n − 2m + 2)x + x^{2}} = \frac{1 + 2mx − 2x + x^{2}}{1 − (m − 2)(n − 2)x + 2x + x^{2}} .

§1.4. Ideale regelmäßige Polygone 17

§1.4. Ideale regelmäßige Polygone

Bevor ich zu den stumpfwinkligen regelmäßigen Polygonen gehe, mache ich, da ich gerade in der Nähe bin, der Vollständigkeit halber einen kleinen Umweg über die ”spitzwinkligsten“ regelmäßigen Polygone. Dies sind die regelmäßigen Polygone mit der Besonderheit, daß sich alle Ecken im Unendlichen befinden.*

Figure

Diese Dreickspflasterung und auch die folgenden Pflasterungen 0^{∘}-winkliger regelmäßiger Polygone haben einen sehr einfachen Aufbau. Denn Ecken, die im Unendlichen sind, erleichtern das Berechnen der in dieser Arbeit behandelten Klasse von Wachstumsfunktionen. Zum Beispiel entstehen im zweidimensionalen Fall durch die Ecken

* Solche Polygone hängen eng zusammen mit den Schottky-Polygonen, zu finden im Abschnitt Classical Schottky Groups von [Ratcliffe, §12.1] im Unendlichen unendlich lange Streifen, welche die in der Nähe befindlichen Polygone daran hindern, komplizierte Polygonkonfigurationen zu bilden.

Figure  Figure

Figure  Figure  …

Nun zur Wachstumsfunktion solcher Pflasterungen …

Sei P ein Polygon in der r-ten Schale einer Pflasterung von regelmäßigen 0^{∘}-winkligen n-eckigen Polygonen und r ≥ 1. Da es mindestens einen Punkt mit einem Polygon der r−1-ten Schale gemeinsam hat, sich aber alle seine Eckpunkte im Unendlichen befinden, muß es eine ganze Kante mit einem Polygon der vorigen Schale gemeinsam haben. Das Komplement eines n-eckigen Polygons, dessen Ecken sich alle im Unendlichen befinden, besteht aus n Zusammenhangskomponenten. In einer der Zusammenhangskomponenten des Komplements von P befinden sich alle Polygone der vorigen Schalen. Daher hat F auch nur eine Kante mit der r−1-ten Schale gemeinsam. An den restlichen n − 1 Kanten befinden sich daher n − 1 Polygone der r + 1-ten Schale, welche auch nur durch P Kontakt zur r-ten Schale haben. Daher kommen aus jedem Polygon der r-ten Schale genau n − 1 weitere Polygone.

§1.5. Stumpfwinklige regelmäßige Polygone 19

Damit gibt es nur Kantenpolygone, und ich erhalte die Wachstumsmatrix A = ( n − 1 ), den ersten Schalenvektor v_{1} = ( n) und die Wachstumsfunktion:

\begin{aligned}f_{\{n,∞\}}(x) & = 1 + ( 1 ) (1 − Ax)^{−1}xv_{1} = 1 + ( 1 ) (1 − (n − 1)x)^{−1}x ( n) \\ & = \frac{1 + x}{1 − (n − 1)x} = 1 + nx + (n − 1)nx^{2} + (n − 1)^{2}nx^{3} + (n − 1)^{3}nx^{4} + …. \end{aligned}

§1.5. Stumpfwinklige regelmäßige Polygone

Von den spitzwinkligsten Polygonen gehe ich nun zu den stumpfwinkligen regelmäßigen Polygonen. Dort schaue ich mir die regelmäßigen Polygone mit 120^{∘}-Winkeln und mindestens sechs Ecken an. Ein sechseckiges regelmäßiges Polygon mit 120^{∘}-Winkeln ist ein gewöhnliches euklidisches Sechseck, bei mehr Ecken sind die Polygone hyperbolisch.

Figure

Figure  Figure  …

Bei Betrachtung dieser Bilder fällt sofort auf, daß die einzelnen Schalen nicht mehr konvex sind. Im Fall der Sechseckpflasterung ist leicht zu sehen, daß die Nicht-Konvexität der Schalen zu keinen Komplikationen führt. Auf den folgenden anderthalb Seiten betrachte ich die nicht-konvexen Stellen der mindestens siebeneckigen Polygonpflasterungen.

Sei also F ein regelmäßiges Polygon mit 120^{∘}-Winkeln und n ≥ 7 Ecken. Ich betrachte jetzt eine Pflasterung mit solchen Polygonen. Da alle Ecken einen 120^{∘}-Winkel haben, kommen an jeder Ecke genau drei Polygone zusammen. Die erste Schale besteht daher aus exakt n Polygonen. Der äußere Rand der ersten Schale enthält genau n nichtkonvexe Stellen. Diese befinden sich an den Enden der Kanten, die in der ersten Schale zwischen zwei benachbarten Polygonen liegen. Die zweite Schale enthält genau n+n(n−5) = n(n−4) Polygone. n Polygone der zweiten Schale befinden sich an den nicht-konvexen Ecken und haben genau zwei Kanten mit der ersten Schale gemeinsam. Solche Polygone nenne ich im folgenden Doppelkantenpolygone. Die restlichen n(n − 5) Polygone sind Kantenpolygone, denn an jedem der n Polygone der ersten Schale sind genau n − 5 freie Kanten (d.h. Kanten, welche außer dem Polygon der ersten Schale nur Polygone der nächsten Schale berühren).

Sind bei einer Pflasterung alle Schalen konvex (d.h., alle Schalenränder sind konvex), so gibt es beim Pflastern keine Probleme mit starken Einbuchtungen, die sich später treffen. Bei nicht-konvexen Schalen kann es dagegen passieren, daß zwei Polygone in der r-ten Schale nicht benachbart sind, aber beide mit einem Polygon P der r + 1-ten Schale jeweils eine Kante gemeinsam haben:

… Figure  …

Unter der Voraussetzung, daß alle Schalen konvex sind, kann das Wachstum lokal betrachtet werden, weil dann nur benachbarte Polygone das Geschehen bei den Nachbarpolygonen in der nächsten Schale beeinflussen.

In der dargestellten Quadratpflasterung besteht die nullte Schale übrigens nicht aus einem, sondern aus 17 Quadraten. In der Wachstumsfunktionsdefinition der Einleitung ist die nullte Schale einelementig. Werden auch mehrelementige nullte Schalen zugelassen, ergibt sich als Wachstumsfunktion:

f_{Beispiel}(x) = \frac{17 + 6x − 21x^{2} + 6x^{4}}{(1 − x)^{2}} = 17 + 40x + 42x^{2} + 44x^{3} + 52x^{4} + 60x^{5} + ….

Durch Hilfsstrecken (Definition folgt) wird deutlich, daß die Schalen der hier betrachteten Pflasterung zwar nicht konvex sind, aber sich genauso verhalten. Ich füge nun an jeder nicht-konvexen Ecke eine Hilfsstrecke zwischen den beiden Nachbarecken ein.

Bsp.: Die Hilfsstrecke im Fall n = 7 (links) und n = 9 (rechts):

Figure^{120^{∘} α  120^{∘} 240^{∘} α 120^{∘}}  Figure^{120^{∘} α  α 120^{∘} 120^{∘}  240^{∘}}

Zwei Kanten an der nicht-konvexen Ecke und die Hilfsstrecke bilden ein Hilfsdreieck. Weil das Hilfsdreieck hyperbolisch ist, hat es eine Winkelsumme, die kleiner als 180^{∘} ist: α + α + 120^{∘} < 180^{∘}. Das Hilfsdreieck zähle ich nun zur vorigen Schale. Dann ist die nicht-konvexe 240^{∘}-Ecke verschwunden, und die beiden Nachbarecken haben die Winkel 120^{∘} + α < 180^{∘} und sind damit immer noch konvex. Mache ich dies an jeder 240^{∘}-Ecke der Pflasterung, sind anschließend alle Schalenränder konvex. Durch die Hilfsdreiecke werden alle Doppelkantenpolygone zu Kantenpolygonen. Beim Bestimmen der Wachstumsfunktion werden die Hilfsdreiecke natürlich nicht mitgezählt. Die Anzahl der Siebenecke bleibt gleich, da die ursprünglichen Doppelkantensiebenecke nur ein bißchen verkleinert worden sind.

Nun zur Wachstumsfunktion: Ein n-Eck zusammen mit einem Hilfsdreieck nenne ich jetzt wieder Doppelkantenpolygon. Somit habe ich dann zwei Typen: Kantenpolygone (Typ 1) und Doppelkantenpolygone (Typ 2). Die erste Schale besteht aus n Kantenpolygonen, sie hat den Typvektor ({n \atop 0}).

Figure^{2 ^{1}^{n−5 Kanten}^{1}^{\frac{1}{2}}  ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}  ^{P}  2}  ⟵ Kantenpolygon P

Ein Kantenpolygon hat eine Kante mit der vorigen Schale und zwei Kanten mit seinen Nachbarn in derselben Schale gemeinsam. Übrig bleiben n − 3 Kanten, welche Kontakt zur nächsten Schale haben. Die beiden äußeren dieser n − 3 Kanten befinden sich an nicht-konvexen 240^{∘}-Ecken. An diesen beiden Kanten ist in der nächsten Schale jeweils ein Doppelkantenpolygon, das genau zwei Vorgänger (zwei ”Elternpolygone“) in der vorigen Schale hat. Daher sage ich, daß aus einem Kantenpolygon in der nächsten Schale 2 · \frac{1}{2} Doppelkantenpolygone entstehen. An den restlichen n − 5 Kanten befindet sich jeweils ein Kantenpolygon in der nächsten Schale. An einem Doppelkantenpolygon passiert in der nächsten Schale annähernd das gleiche wie bei einem Kantenpolygon:

Figure  ^{^{1}^{n−6}^{P} 2  2}  ⟵ Doppelkantenpolygon P

Da das Doppelkantenpolygon zwei Grundkanten hat (ein Kantenpolygon hat nur eine Grundkante), entstehen in der nächsten Schale 2· \frac{1}{2} Doppelkantenpolygone und nur n−6 Kantenpolygone. Die Wachstumsmatrix lautet daher A = ( \begin{matrix}n − 5 & n − 6 \\ 1 & 1 \end{matrix} ), und eine Pflasterung mit regelmäßigen 120^{∘}-winkligen n-Ecken hat folgende Wachstumsfunktion:

f_{\{n,3\}}(x) = 1 + ( 1 1 ) (1 − Ax)^{−1}x ( \begin{matrix}n \\ 0 \end{matrix} )

= 1 + ( 1 1 ) ( \begin{matrix}1 − (n − 5)x & −(n − 6)x \\ −x & 1 − x \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}nx \\ 0 \end{matrix} )

= 1 + \frac{(1 − x)nx − (−x)nx}{(1 − (n − 5)x)(1 − x) − (n − 6)x^{2}}

= 1 + \frac{nx}{1 − (n − 4)x + x^{2}} = \frac{1 + 4x + x^{2}}{1 − (n − 4)x + x^{2}} .

Im Spezialfall n = 6 gilt A = ({1 \atop 1} {0 \atop 1}), d.h., aus einem Kantenpolygon werden in der nächsten Schale ein Kantenpolygon und zwei halbe Doppelkantenpolygone, und aus einem Doppelkantenpolygon werden in der nächsten Schale zwei halbe Doppelkantenpolygone:

f_{\{6,3\}}(x) = \frac{1 + 4x + x^{2}}{(1 − x)^{2}} = 1 + 6x + 12x^{2} + 18x^{3} + 24x^{4} + 30x^{5} + ….

Im Spezialfall n = 7 (siehe das oberste Bild auf Seite 20) gilt:

f_{\{7,3\}}(x) = \frac{1 + 4x + x^{2}}{1 − 3x + x^{2}} = 1 + 7x + 21x^{2} + 56x^{3} + 147x^{4} + 385x^{5} + ….

§1.6. Wachstumsfunktionen rechtwinkliger Dreiecke

Nun bin ich am Ende des in der Kapiteleinleitung beschriebenen Weges. Bevor ich die (2, 3, r)-Dreieckspflasterungen (Definition folgt) von den stumpfwinkligen Polygonen aus betrachte, schaue ich mir die (2, 3, r)-Pflasterungen einmal aus der Nähe an:

Sei also 6 ≤ r < ∞ und F das rechtwinklige Dreieck mit den Winkeln γ = \frac{π}{2} , β = \frac{π}{3} und α = \frac{π}{r} und den Kanten a, b und c (siehe Skizze). Die Kante a ist die kürzeste Kante und Kante c die längste Kante des Dreiecks.* Durch Spiegelung an der Hypotenuse c entsteht übrigens ein Drache. Er hat zwei a-Kanten (die beiden kurzen Kanten) und zwei b-Kanten.

Figure^{\frac{π}{r}} F b  a c^{\frac{π}{2}}  ^{\frac{π}{3}}  Figure^{F gF^{\frac{2π}{3}} ^{\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}^{\frac{2π}{r}}  Drache}

Die Pflasterung der Ebene mit F durch Spiegelungen an den Kanten wird (2, 3, r)- Dreieckspflasterung genannt (siehe z.B. [Ratcliffe, §7.2.]). Im nächsten Bild ist links die erste Schale der euklidischen Pflasterung (2, 3, 6) und rechts die erste Schale der hyperbolischen Pflasterung (2, 3, 7) zu sehen. Das schwarze Dreieck sei F.

Figure  ^{c b  a}  Figure  ^{a cb}

* Im euklidischen Fall (2, 3, 6) ist diese Behauptung klar. Sei daher r ≥ 7. Der ”hyper-

bolische Pythagoras“ lautet ([Beardon, §7.11.]):

cosh c = cosh a cosh b.

Weil cosh x > 1 für x > 0, folgt cosh c > cosh a und cosh c > cosh b. Da cosh in [0, ∞[ streng monoton ist, gelten nun c > a und c > b. Damit ist c die längste Kante. Die hyperbolischen Analoga zu a = c sin α und b = c sin β lauten

sinh a = sinh c sin α und sinh b = sinh c sin β.

Für obiges F folgt: sinh b = sinh c sin \frac{π}{3} > sinh c sin \frac{π}{r} = sinh a. Wegen der strengen Monotonie von sinh folgt b > a.

§1.6. Wachstumsfunktionen rechtwinkliger Dreiecke 25

Seien σ_{a}, σ_{b} bzw. σ_{c} die Spiegelungen an den Kanten a, b bzw. c. Werden die Spiegelungen σ_{b} und σ_{c} wiederholt auf F angewandt, entsteht das aus 2r Dreiecken bestehende regelmäßige Polygon P = F ∪σ_{c}F ∪σ_{c}σ_{b}F ∪…∪σ_{b}F. Seine r Ecken haben die Winkel 2β = \frac{2π}{3} = 120^{∘}. Jede der r Kanten des Polygons besteht aus zwei Dreieckskanten (zwei a-Kanten). σ_{a}P ist ein Nachbarpolygon von P und σ_{c}σ_{a}P ein weiteres. Diese drei Polygone haben die \frac{π}{3} -Ecke von F gemeinsam. Die ganze Ebene wird von den r-eckigen Polygonen mit 120^{∘}-Winkeln gepflastert. In jedem Polygon befinden sich genau 2r Dreiecke.

Figure  ^{P^{F} ^{σ_{c}σ_{b}F}^{σ_{b}F} ^{σ_{c}F} σ_{a}P σ_{c}σ_{a}P}

(2, 3, 7)-Pflasterung mit den regelmäßigen r-eckigen Polygonen Damit lassen sich die Erkenntnisse, die bei den 120^{∘}-winkligen regelmäßigen Polygonpflasterungen zu Tage traten, auf die Dreieckspflasterungen anwenden. Da ich das Wachstum der Polygonpflasterungen kenne, weiß ich nun, wie sich die Dreieckspflasterung verhält, wenn ich immer 2r Dreiecke zu einem Polygon zusammenfasse.

Im Folgenden schaue ich mir das Geschehen in den Polygonen genauer an, und zeige, wie in den einzelnen Polygontypen das Wachstum der Dreieckspflasterung vonstatten geht: Die Polygone der Polygonpflasterung hatte ich in Kantenpolygone (Typ 1) und Doppelkantenpolygone (Typ 2) unterteilt. Diese Unterteilung verfeinere ich nun, indem ich bei den Kantenpolygonen vier Untertypen 1, 1′, 1′′, 1′′′ und bei den Doppelkantenpolygonen drei Untertypen 2, 2′, 2′′ unterschei- de.

Figure  ^{1′}  ^{1′}  ^{1′}^{1′}  ^{1′}^{1′}^{2′}^{2′}^{1′}^{2′}^{1′}  ^{1′′′}  ^{1′′}^{2′′}^{2′′}  1  1 2 2  2^{2′′}  ^{2′′} 1 1 2 2  ^{2′}^{2′}  ^{1′}^{2′}  ^{2′}^{2′}^{1′}  ^{2′}  ^{1′}^{1′}

Auf dieser Seite habe ich die Typen in eine euklidische (2, 3, 6)-Pflasterung eingetragen, auf der folgenden in eine (2, 3, 7)-Pflasterung.

Figure  ^{1′} ^{1′′}^{1′}^{1′} ^{1′}^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{1}′}^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{^{1}′}  ^{1} ^{1} ^{2} ^{1}^{1}^{2′′}^{2′′}  ^{1′ ; ′ ; ′}^{1} ^{2} ^{1} ^{1}  ^{1} ^{1}^{2}  ^{2} ^{1}^{1}^{1}^{^{1}′}^{^{1}′}^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{2}′}^{^{1}′}^{^{1}′}  ^{2′′}  ^{2′′}^{^{1}′}  ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{1}′}  ^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{^{1}′} ^{^{2}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′} ^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{1′} ^{^{2}′}^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{2}^{^{1}′} ^{^{1}′}^{2} ^{1}^{1} ^{1}^{2} Wie in §1.5. erläutert, entstehen aus einem Kantenpolygon in der nächsten Schale genau

r − 5 Kantenpolygone und ein Doppelkantenpolygon. Aus einem Doppelkantenpolygon entstehen r − 6 Kantenpolygone und ein Doppelkantenpolygon. Im Folgenden betrachte ich, wie sich die Dreiecke in den Polygonen verhalten. Ich unterscheide dabei Polygonschalen und Dreiecksschalen. Das innerste Polygon (die nullte Schale der Polygonpflasterung) besteht aus dem Dreieck F und 2r − 1 Dreiecken der ersten Dreiecksschale. Def.: Zwei Dreiecke oder Dreiecksmengen haben Kontakt miteinander, falls sie mindestens eine Ecke gemeinsam haben (diese Bezeichnung ist zu synonym zu benachbart).

Beschreibung der einzelnen Polygontypen: In der ersten Polygonschale sind r −2 Kantenpolygone vom Typ 1′: Ein Kantenpolygon vom Typ 1′ in der m-ten Polygonschale besteht aus 4 Dreiecken der 2m-ten Schale und 2r − 4 Dreiecken der 2m + 1-ten Schale. Die vier Dreiecke der 2m-ten Schale befinden sich an der Polygongrundkante. Zur nächsten Schale haben nur die 2r − 4 Dreiecke der 2m + 1-ten Schale Kontakt. Das Kantenpolygon vom Typ 1′′ besteht aus 2 Dreiecken der 2 · 1 − 1-ten Schale und 2r − 2 Dreiecken der 2 · 1-ten Schale, nur Dreiecke der 2-ten Schale haben Kontakt zur nächsten Polygonschale. Das Polygon vom Typ 1′′ kommt wie das Polygon vom Typ 1′′′ nur einmal in der ersten Polygonschale vor. Das Kantenpolygon vom Typ 1′′′ besteht aus 3 Dreiecken der 2 · 1 − 1-ten Schale und 2r − 3 Dreiecken der 2 · 1-ten Schale. Auch hier haben nur Dreiecke der 2-ten Schale Kontakt zur nächsten Polygonschale. Ein Kantenpolygon vom Typ 1 in der m-ten Polygonschale besteht aus 4 Dreiecken der 2m − 1-ten Dreiecksschale und 2r − 4 Dreiecken der 2m-ten Dreiecksschale. Nur Dreiecke der 2m-ten Dreiecksschale haben Kontakt zur nächsten Polygonschale. Ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2 in der m-ten Polygonschale besteht aus 6 Dreiecken der 2m − 1-ten und 2r − 6 Dreiecken der 2m-ten Dreiecksschale. Nur die 2r − 6 Dreiecke der 2m-ten Schale haben Kontakt zur nächsten Polygonschale. Ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2′ in der m-ten Polygonschale besteht aus 6 Dreiecken der 2m-ten und 2r − 6 Dreiecken der 2m + 1-ten Dreiecksschale. Wieder haben nur die 2r − 6 Dreiecke Kontakt zur nächsten Polygonschale. Eine Besonderheit ist ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2′′. In der m-ten Schale besteht es aus 4 Dreiecken der 2m−1-ten und 2r−4 Dreiecken der 2m-ten Dreiecksschale. Es hat in der m-ten Polygonschale immer ein Polygon vom Typ 1 und ein Polygon vom Typ 1′ als Nachbarn. Die Dreiecke im 2′′-Polygon, welche mit dem 1′-Nachbarn Kontakt haben, sind alle aus der 2m-ten Schale. Mit der nächsten Polygonschale haben auch nur Dreiecke der 2m-ten Schale Kontakt.

Wachstum der Polygontypen: Aus einem Kantenpolygon vom Typ 1 entstehen r − 5 Kantenpolygone vom Typ 1 und ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2. Aus einem Doppelkantenpolygon vom Typ 2 entstehen r − 6 Kantenpolygone vom Typ 1 und ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2. Entsprechend wachsen Polygone vom Typ 1′ und Typ 2′ (ersetze in den letzten beiden Sätzen 1 durch 1′ und 2 durch 2′). Komplizierter ist das Wachstum eines Polygons vom Typ 2′′: Sei P ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2′′ in der m-ten Schale. Es hat zwei Polygone vom Typ 1 und 1′ als Nachbarn in derselben Schale. Zur nächsten Polygonschale haben in P nur Dreiecke der 2m-ten Schale Kontakt. Das Doppelkantenpolygon, welches aus P und dem Polygonnachbarn vom Typ 1 entsteht, ist daher vom Typ 2. An den r − 6 freien Kanten von P befinden sich r − 6 Kantenpolygone vom Typ 1.

Aus P und dem Nachbarpolygon vom Typ 1′ entsteht wieder ein Doppelkantenpolygon, ich nenne es Q, vom Typ 2′′, denn: Die vier Dreiecke von Q, die mit P Kontakt haben, gehören zur 2m + 1 = 2(m + 1) − 1-ten Schale, weil in P (wie gerade erwähnt) nur Dreiecke der 2m-ten Schale zur nächsten Polygonschale Kontakt haben und in einem Polygon vom Typ 1′ nur Dreiecke der 2m + 1-ten Schale zur nächsten Schale Kontakt haben. Die restlichen 2r − 4 Dreiecke in Q befinden sich in der 2m + 2 = 2(m + 1)-ten Schale. Die zwei Polygonschalennachbarn von Q sind vom Typ 1 und 1′. [Ende Typ 2′′] Wie beim Doppelkantenpolygon vom Typ 2′′ gibt es bei den Kantenpolygonen vom Typ 1′′ oder 1′′′ ”verschwindende“ Doppelkantenpolygone: Aus einem Polygon vom Typ 1′′ oder 1′′′ entstehen in der nächsten Schale r − 5 Kantenpolygone vom Typ 1 und ein halbes Doppelkantenpolygon vom Typ 2. Ferner entsteht noch ein Doppelkantenpolygon vom Typ 2′′. Da als Polygonnachbar ein Kantenpolygon vom Typ 1′ vorhanden ist, ”verschwindet“ ein halbes Doppelkantenpolygon vom Typ 2′.

Figure  ^{1′} ^{1′′}^{1′}^{1′} ^{1′}^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{1}′}^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{^{1}′}  ^{1} ^{1} ^{2} ^{1}^{1}^{2′′}^{2′′}  ^{1′ ; ′ ; ′}^{1} ^{2} ^{1} ^{1}  ^{1} ^{1}^{2}  ^{2} ^{1}^{1}^{1}^{^{1}′}^{^{1}′}^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{2}′}^{^{1}′} ^{^{2}′}^{^{1}′}^{^{1}′}  ^{2′′}  ^{2′′}^{^{1}′}  ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{1}′}  ^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{^{1}′} ^{^{2}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′} ^{^{1}′} ^{^{1}′} ^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{^{1}′} ^{^{1}′}^{^{1}′} ^{^{1}′}  ^{^{1}′}^{1′} ^{^{2}′}^{^{2}′}  ^{^{2}′}  ^{2}^{^{1}′} ^{^{1}′}^{2} ^{1}^{1} ^{1}^{2}

Damit ich die Wachstumsmatrix aufstellen kann, muß ich die Typen anordnen. Dazu wähle ich die Reihenfolge 1, 2, 1′, 2′, 2′′, 1′′, 1′′′. In der ersten Polygonschale befinden sich r − 2 Polygone vom Typ 1′ und jeweils ein Polygon vom Typ 1′′ und 1′′′. Die erste Schale hat daher den Typvektor:

v_{1} := ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ r − 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Aus den Typvektoren der Polygonschalen müssen die Anzahlen der Dreiecke in den einzelnen Dreiecksschalen bestimmt werden. Dies geschieht folgendermaßen: Ich definiere einen Zeilenvektor, der — nach der Multiplikation mit dem Typvektor einer m-ten Polygonschale — den Anteil der in der m-ten Polygonschale enthaltenen Dreiecke an der Wachstumsfunktion f(x) liefert. Beispiel (erste Komponente des Zeilenvektors): Ein Polygon vom Typ 1 in der m-ten Polygonschale enthält vier Dreiecke der 2m−1-ten Schale und 2r−4 Dreiecke der 2m-ten Schale. In der Wachstumsfunktion liefert dies den Summanden 4x^{2m−1} + (2r − 4)x^{2m}. Als ersten Eintrag des Zeilenvektors wähle ich daher 4 + (2r − 4)x. [Ende Beispiel] Ein Eintrag in der m-ten Polygonschale wird bei der Berechnung dann noch mit x^{2m−1} multipliziert. Aus der Definition der sieben Typen ergibt sich der Zeilenvektor

S := ( \begin{matrix}4 + (2r − 4)x \\ 6 + (2r − 6)x \\ 4x + (2r − 4)x^{2} \\ 6x + (2r − 6)x^{2} \\ 4 + (2r − 4)x \\ 2 + (2r − 2)x \\ 3 + (2r − 3)x \end{matrix} )^{t} .

In der folgenden Wachstumsmatrix A gibt der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte an, wieviel Polygone vom Typ i aus einem Polygon vom Typ j entstehen.

A := ( \begin{matrix}r − 5 & r − 6 & 0 & 0 & r − 6 & r − 5 & r − 5 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & r − 5 & r − 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & −1/2 & −1/2 & −1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Mit S, A und v_{1} kann nun die Wachstumsfunktion berechnet werden:

f_{(2,3,r)}(x) = 1 + (2r − 1)x + S ∑_{m=1}^{∞} A^{m−1}x^{2m−1}v_{1} = 1 + (2r − 1)x + S(1 − Ax^{2})^{−1}xv_{1}.

Den letzten Ausdruck für f(x) habe ich mit dem Computeralgebra-System Maple V, Rev. 3, ausgerechnet. Bei der Inversenbildung der Matrix benutze ich die Cramersche Regel: B^{−1} = adjoint(B)/det(B), wobei B := (1 − Ax^{2}).

Maple liefert als Ergebnis

f_{(2,3,r)}(x) = \frac{1 + (2r + 4)x + (7r − 9)x^{2} + (4r − 2)x^{3} + (r − 3)x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − (r − 4)x^{2} + x^{4}}

Der enge Zusammenhang zwischen der regelmäßigen 120^{∘}-Polygonpflasterung und der (2, 3, r)-Pflasterung äußert sich im Nenner der Wachstumsfunktionen:

Nenner der r-eckigen 120^{∘}-Polygonpflasterung: 1 − (r − 4)x + x^{2},
Nenner der (2, 3, r)-Dreieckspflasterung: 1 − (r − 4)x^{2} + x^{4}.

Die drei Pflasterungen (2, 3, 6), (2, 3, 7) und (2, 3, 8) haben die Wachstumsreihen

\begin{aligned}f_{(2,3,6)}(x) & = 1 + 16x + 35x^{2} + 54x^{3} + 72x^{4} + 90x^{5} + 108x^{6} + 126x^{7} + 144x^{8} + 162x^{9} + …, \\ f_{(2,3,7)}(x) & = 1 + 18x + 43x^{2} + 80x^{3} + 132x^{4} + 220x^{5} + 352x^{6} + 580x^{7} + 924x^{8} + 1520x^{9} + …, \\ f_{(2,3,8)}(x) & = 1 + 20x + 51x^{2} + 110x^{3} + 208x^{4} + 418x^{5} + 780x^{6} + 1562x^{7} + 2912x^{8} + …. \end{aligned}

Durch Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die Wachstumsfunktion f(x), d.h., die Bestimmung des Quotienten und seines Restes in ℚ(x), erhalte ich:

f_{(2,3,r)}(x) = 1 − 2x − x^{2} + \frac{(2r + 6)x + (8r − 12)x^{2} + (2r + 6)x^{3}}{1 − (r − 4)x^{2} + x^{4}} .

Die Herkunft des Terms 1−2x−x^{2} wird auf Seite 38 erklärt. Der Nenner bedeutet, daß die höheren Glieder (m ≥ 3) der Wachstumsreihe die Identität a_{m+4} = (r−4)a_{m+2}−a_{m} erfüllen (siehe §7.1.).

(2, 3, 8)Figure

Kapitel 2: Dreieckspflasterungen

In Kapitel 1 habe ich die Wachstumsfunktionen der Dreieckspflasterungen (2, 3, r) mit 6 ≤ r < ∞ bestimmt. In diesem Kapitel betrachte ich nach einer Bemerkung zur Winkelsumme weitere rechtwinklige Dreieckspflasterungen. Anschließend schaue ich mir nicht-rechtwinklige Dreieckspflasterungen an. Zum Schluß werfe ich noch einen Blick auf die nicht-kompakten Dreieckspflasterungen (∞, q, r), (∞, ∞, r) und (∞, ∞, ∞). Alle Pflasterungen dieses Kapitels entstehen durch Spiegelung von Dreiecken an ihren Kanten.

§2.1. Winkelsumme von Dreiecken

Sei F ein Dreieck mit den Winkeln α, β und γ in einem der Räume 𝕊^{n}, IE^{n} oder IH^{n} mit n ≥ 2. Dann gibt es drei Möglichkeiten: Fall 1: Die Winkelsumme α + β + γ ist größer als 180^{∘}. Das Dreieck ist sphärisch, d.h. in einer 𝕊^{n} (Oberfläche der (n + 1)-dimensionalen Einheitskugel) enthalten. Figure _{Äquator}^{Nordpol} Ein Beispiel eines solchen Dreiecks ist ein Dreieck auf 𝕊^{2} (Kugeloberfläche) mit drei 90^{∘}-Winkeln, welches zwei Ecken auf dem Äquator und eine Ecke im Nordpol hat. Die Ecken auf dem Äquator sind ein Viertel des Kugelumfangs voneinander entfernt. Fall 2: α + β + γ = 180^{∘}. Das Dreieck ist ein gewöhnliches euklidisches Dreieck. Fall 3: α + β + γ < 180^{∘}. Das Dreieck ist hyperbolisch, also in einem IH^{n} enthalten. Bei hyperbolischen Berechnungen benutze ich häufig Formeln aus dem Abschnitt zur Trigonometrie hyperbolischer Dreiecke in [Beardon, §7.7.ff].

§2.2. Rechtwinklige Dreieckspflasterungen

Sei F ein Dreieck mit den Winkeln α = \frac{π}{2} , β = \frac{π}{q} und γ = \frac{π}{r}, wobei 2 ≤ q ≤ r < ∞ und q, r ∈ IN.

2.2.1. Sphärische rechtwinklige Dreiecke Hat F eine Winkelsumme größer als 180^{∘}, gilt \frac{1}{2} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1. Es gibt folgende Fälle:

(2, 2, r) mit r ≥ 2, (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5).

Die Dreieckspflasterung (2, 2, r) der Kugeloberfläche 𝕊^{2} besteht aus 2r Dreiecken auf der Nordhalbkugel und 2r Dreiecken auf der Südhalbkugel. Da die Pflasterung somit nur 4r Dreiecke enthält, ist die Wachstumsfunktion lediglich ein Polynom:

f_{(2,2,r)}(x) = 1 + (2r + 2)x + (2r − 3)x^{2}.

Die Dreieckspflasterung (2, 3, 3) entsteht, wenn auf einem Würfel alle Diagonalen eingezeichnet werden und der Würfel anschließend ”aufgepumpt“ wird, bis er kugelrund ist. Die Pflasterung besteht aus 24 Dreiecken, ihre Wachstumsfunktion lautet:

f_{(2,3,3)}(x) = 1 + 10x + 11x^{2} + 2x^{3}.

Die Dreieckspflasterung (2, 3, 4) besitzt Würfelsymmetrie und geht aus der Pflasterung (2, 3, 3) durch Halbierung aller Dreiecke hervor. Diese Pflasterung enthält 48 Dreiecke und hat die Wachstumsfunktion:

f_{(2,3,4)}(x) = 1 + 12x + 19x^{2} + 14x^{3} + 2x^{4}.

Die Dreieckspflasterung (2, 3, 5) hat Ikosaedersymmetrie. Sie entsteht, indem jede Seitenfläche eines Ikosaeders baryzentrisch in sechs Dreiecke unterteilt wird (in jeder Ikosaederseite werden die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten eingezeichnet).

f_{(2,3,5)}(x) = 1 + 14x + 27x^{2} + 32x^{3} + 28x^{4} + 16x^{5} + 2x^{6}.

2.2.2. Euklidische rechtwinklige Dreiecke Es gibt zwei euklidische rechtwinklige Dreieckspflasterungen: (2, 3, 6) und (2, 4, 4). Die Dreieckspflasterung (2, 3, 6) kam in §1.5. vor. Bleibt also (2, 4, 4).

Figure

§2.2. Rechtwinklige Dreieckspflasterungen 35

(2, 4, 4) ist euklidisch und daher recht einfach aufgebaut: Die ersten drei Schalen enthalten 14, 31 und 48 Dreiecke. In den folgenden Schalen kommen immer genau 16 Dreiecke hinzu. Es gelten 48x^{3}+48x^{4}+48x^{5}+… = 48x^{3}/(1−x) und 16x^{4}+32x^{5}+48x^{6}+64x^{7}+ … = 16x^{4}/(1 − x)^{2} (siehe auch die Identität (∗) auf Seite 3). Die Wachstumsfunktion lautet daher:

f(x) = 1 + 14x + 31x^{2} + 48x^{3}/(1 − x) + 16x^{4}/(1 − x)^{2}

= \frac{1 + 12x + 4x^{2} − x^{4}}{(1 − x)^{2}} = \frac{1 + 14x + 29x^{2} + 20x^{3} + 3x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{(1 − x^{2})^{2}}

= 1 − 2x − x^{2} + \frac{16x}{(1 − x)^{2}}

= 1 + 14x + 31x^{2} + 48x^{3} + 64x^{4} + 80x^{5} + 96x^{6} + ….

2.2.3. Hyperbolische rechtwinklige Dreiecke Die rechtwinkligen Dreieckspflasterungen (2, 3, r) mit 6 ≤ r < ∞ sind in Kapitel 1 behandelt worden. Seien im Folgenden q, r ≥ 4 und q, r ∈ IN. Außer im Fall (2, 4, 4) ist das Dreieck mit den Winkeln γ = \frac{π}{2} , β = \frac{π}{q} und α = \frac{π}{r} hyperbolisch. In Kapitel 1 berechnete ich die Wachstumsfunktion der (2, 3, r), indem ich die Dreieckspflasterungen vom Standpunkt der Polygonpflasterungen aus betrachtete. Dabei faßte ich immer 2r Dreiecke, die gemeinsam in einem r-eckigen Polygon liegen, zusammen und analysierte das Wachstumsverhalten der mit Dreiecken gefüllten Polygone. Die (2, q, r)-Pflasterungen könnten ebenso behandelt werden — es würden dann Pflasterungen von regelmäßigen q-Ecken mit \frac{360^{∘}}{r} -Winkeln oder Pflasterungen regelmäßiger r-Ecke mit \frac{360^{∘}}{q} -Winkeln betrachtet werden. Ich möchte diesmal aber anders vorgehen; und zwar fasse ich die Dreiecke nicht zu 2q- oder 2r-elementigen Polygonen, sondern zu kleinen Blöcken mit 2 oder 6 Dreiecken zusammen. Solch ein Block enthält dann nur Dreiecke derselben Schale und nicht Dreiecke von verschiedenen Schalen, wie es bei den Polygontypen der Fall war. Ich beschreibe nun die fünf Blocktypen der (2, q, r)-Pflasterung im Einzelnen, im Bild auf der folgenden Seite sind diese Typen in eine (2, 4, 5)-Pflasterung eingetragen. Definition: Ich bezeichne eine Ecke der Pflasterung entweder als rechtwinklige Ecke, als q-Ecke oder als r-Ecke, je nachdem, welchen Winkel die Dreiecke an der Ecke haben. Eine Kante der Pflasterung bezeichne ich entweder als q-Kante, als r-Kante oder als Hypotenuse, je nachdem, ob die Kante eine q-Ecke und keine r-Ecke, eine r-Ecke und keine q-Ecke oder eine q-Ecke und eine r-Ecke hat. Typ 1: Ein Block vom Typ 1 besteht aus zwei Dreiecken, welche die Hypotenuse gemeinsam haben, es handelt sich somit um einen Drachen (siehe auch Seite 24). Eines der Dreiecke hat genau eine r-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam. Den Kontakt zur nächsten Schale bildet die gegenüberliegende q-Kante. Typ 2: Ein Block vom Typ 2 ist ein Drache, der nur die r-Ecke mit der vorigen Schale gemein hat. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden die beiden q-Kanten an der q-Ecke. Typ 3: Ein Block vom Typ 3 hat große Ähnlichkeit mit einem Block vom Typ 1. Der Unterschied liegt darin, daß ein Block vom Typ 3 eine q-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam hat und eine r-Kante mit der nächsten Schale gemeinsam hat.

Typ 4: Typ 4 entspricht Typ 2. Er ist ein Drache, der nur die q-Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Hier haben die beiden r-Kanten an der r-Ecke Kontakt zur nächsten Schale. Typ 5: Ein Block vom Typ 5 ist eine Mischung aus einem Block vom Typ 2, einem Block vom Typ 4 und einem weiteren Drachen, insgesamt also sechs Dreiecken (siehe im Bild z.B. den Typ 5-Block oben rechts). Ein Dreieck bildet die ”Wurzel“ des Blockes, seine beiden Katheten bilden den Kontakt zur vorigen Schale. An der Hypotenuse befindet sich ein weiteres Dreieck, sozusagen der ”Stamm“ des Blocks. Als Äste befinden sich an den Katheten des Stammdreiecks zwei Drachen, welche große Ähnlichkeiten mit den Blöcken vom Typ 2 bzw. Typ 4 haben (dieses ”Baum-Bild“ ist nicht wörtlich zu nehmen!). Der Block ist nicht konvex, kann aber wie ein konvexer Block behandelt werden, weil er durch das Einfügen eines Hilfsdreiecks konvex wird. Dieses Hilfsdreieck liegt in der nächsten Schale immer im Inneren und hat dort keinen Kontakt zur übernächsten Schale.

(2, 4, 5)  q = 4, r = 5 Figure  ^{^{1}^{1}^{3}^{2} ^{1}  ^{1}^{3}^{3}^{3} ^{3} ^{3}  ^{5} ^{2}^{2}^{2}^{4}^{4}  ^{4}^{5} ^{3} ^{3}  ^{3} ^{3}  ^{3}^{3} ^{4}^{1}^{1}^{1}^{2}^{2} ^{1}  ^{5}^{2}^{1}^{1}^{2}^{1}^{1} ^{2}  ^{2}^{2}^{1}  ^{1}  ^{1}^{2}^{1}  ^{3}  ^{4}^{3}^{3}^{3}^{3}^{3}^{4}^{3}^{3}^{F′′} 5 ^{F}}

Eine Besonderheit ist einer der beiden Blöcke vom Typ 5 in der zweiten Schale: Denn ein Dreieck, welches nach Definition eigentlich noch zu dem Block gehört, ist in einer anderen Schale als der Block selbst (nämlich in der ersten Schale). Dieses Dreieck bezeichne ich mit F′′. Näheres dazu folgt auf Seite 38.

Was passiert bei den fünf Blöcken jeweils in der nächsten Schale? Typ 1: Sei P ein Block vom Typ 1. In der nächsten Schale befindet sich dann ein Block vom Typ 3 und an der äußeren q-Ecke von P befinden sich q − 4 Blöcke vom Typ 4. Die q − 4 Blöcke vom Typ 4 teilt sich P mit einem Nachbarblock in derselben Schale. In der Wachstumsmatrix wird daher (q − 4)/2 als Eintrag genommen. Typ 2: An einem Block vom Typ 2 befinden sich in der nächsten Schale zwei Blöcke vom Typ 3 und q − 3 Blöcke vom Typ 4. Typ 3: An einem Block P vom Typ 3 befinden sich in der nächsten Schale ein Block vom Typ 1 und r − 4 Blöcke vom Typ 2. Die r − 4 Blöcke teilt sich P mit einem Schalennachbarn, in der Wachstumsmatrix verwende ich daher als Eintrag (r − 4)/2.

(2, 5, 6)  q = 5, r = 6 Figure^{^{4}^{4}^{4}^{3} ^{3} ^{3}  ^{2}^{2}^{1}^{1} ^{2}^{2}^{2}^{1}^{1}^{2}^{2}^{F′′}  ^{1} ^{1} ^{2}^{5} 5^{3}  ^{4}  ^{3}^{3} ^{4}^{4} ^{3}^{4}^{3}  ^{2} ^{2}  ^{4} ^{4}^{2}^{4}  ^{F′}^{F}^{2}^{2}  ^{3}^{4}  ^{3}^{4} ^{4} ^{3}^{3}  ^{4}^{3}^{3}^{4}^{4}^{3}^{5}^{2}^{1}^{2}^{2} ^{1}^{1}^{2}^{2}  ^{1}^{2}^{2} ^{1}}

Typ 4: An einem Block vom Typ 4 befinden sich in der nächsten Schale zwei Blöcke vom Typ 1 und r − 3 Blöcke vom Typ 2. Typ 5: Der Block vom Typ 5 ist der interessanteste der fünf Blöcke. Es entstehen aus einem Block in der nächsten Schale genau ein Block vom Typ 3, q − 4 Blöcke vom Typ 4, ein Block vom Typ 5, r − 4 Blöcke vom Typ 2 und ein Block vom Typ 1.

Jede Schale besteht aus zwei Hälften: In einer Hälfte befinden sich Kanten- und Eckblöcke vom Typ 1 und 2, in der anderen Hälfte befinden sich die Kanten- und Eckblöcke vom Typ 3 und 4. Die Blöcke vom Typ 5, von denen sich in jeder Schale genau zwei sind, fungieren als Übergangsblöcke zwischen den zwei Hälften.

Nun komme ich zum Geschehen in der ersten Schale: Die erste Schale enthält zwei Blöcke vom Typ 5, q − 3 Blöcke vom Typ 4 und r − 3 Blöcke vom Typ 2. Mit den beiden Blöcken vom Typ 5 hat es folgende Bewandtnis: Seien F das Ausgangsdreieck (die nullte Schale), F′ das Dreieck an der Hypotenuse von F und F′′ das Dreieck hinter dem 90^{∘}-Winkel von F.

(2, 5, 5) q = 5, r = 5 Figure • Das Dreieck F′′ gehört eigentlich zur ersten Schale, ich zähle es aber — wie bereits auf Seite 37 erwähnt — zu einem Block vom Typ 5 der zweiten Schale. Damit die Wachstumsfunktion trotzdem richtig berechnet wird, definiere ich den Korrekturterm k_{1} := x − x^{2}, der später zur Wachstumsfunktion hinzuaddiert wird.

• Ich zähle die beiden Dreiecke F und F′ noch zu dem Block vom Typ 5 der ersten Schale, der das Dreieck F′′ an den Katheten berührt. F gehört aber zur nullten Schale. Daher definiere ich als zweiten Korrekturterm k_{2} := 1 − x.

• Der zweite Block vom Typ 5 der ersten Schale enthält ebenfalls die beiden Dreiecke F und F′, die beiden Blöcke vom Typ 5 der ersten Schale überlappen sich. Weil F′ bereits durch den anderen Block zur ersten Schale gezählt wird und F bereits durch den anderen Block und k_{2} zur nullten Schale gezählt wird, erhalte ich als dritten Korrekturterm k_{3} := −2x, d.h., ich zähle in diesem Block weder F noch F′.

Figure ^{^{1}^{1}^{3}^{2} ^{1}  ^{1}^{3}^{3}^{3} ^{3} ^{3}^{5}  ^{5} ^{2}^{2}^{2}^{4}^{4}  ^{4}^{3} ^{3}  ^{3} ^{3}  ^{3}^{3} ^{4}^{1}^{1}  ^{3}^{4}^{5} ^{3}^{3}^{1}^{2}^{1} ^{2}  ^{2}^{2}  ^{1}  ^{1}^{2}^{1}  ^{3}  ^{4}^{3}^{3}^{3}^{1}^{1}  ^{1} ^{2} ^{1} ^{1} ^{2} ^{1} ^{2}^{1} ^{2}^{1}^{2}^{2}^{1}^{2}^{1}^{2}^{1}^{5}  ^{2}^{1}^{4}^{1} ^{2}^{1} ^{1}^{1} ^{2}^{1}^{1}^{1}^{2}^{1}^{1}^{3}^{3}^{3}^{4}  ^{4}^{2}^{3}  ^{3}^{3}^{3}^{3}^{3} ^{3} ^{4}^{3}  ^{3}^{3}^{4}^{3}  ^{1}^{1}^{3}^{3}^{4}  ^{4}  ^{3}^{3}^{3}^{3}^{3}^{3} ^{2}^{1} ^{1} ^{1}^{2}^{3}^{4}^{3}^{3}^{3}^{3}^{4} ^{3} ^{3}^{3}^{3}^{4} ^{3} ^{3} ^{5}  ^{1}^{2}^{1}^{1}^{2}  ^{2}^{2} 5 5^{2} ^{4}^{2}^{2} ^{5} ^{F′′}  ^{F′}^{F}}

Die Korrekturterme ergeben zusammen:

k_{1} + k_{2} + k_{3} = 1 − 2x − x^{2}.

Jetzt kann die Wachstumsfunktion berechnet werden. Ein Block vom Typ 1 bis 4 enthält jeweils zwei Dreiecke, ein Block vom Typ 5 enthält sechs Dreiecke. Der Zeilenvektor S, welcher durch Linksmultiplikation einen Spaltenvektor mit der Anzahl von Blöcken der einzelnen Typen in die Gesamtanzahl von Dreiecken umrechnet, lautet daher:

S := ( 2 2 2 2 6 ) .

Der Typenvektor v_{1} der ersten Schale lautet:

v_{1} := ( \begin{matrix}0 \\ r − 3 \\ 0 \\ q − 3 \\ 2 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsmatrix A lautet:

A := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{r−4}{2} & r − 3 & r − 4 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{q−4}{2} & q − 3 & 0 & 0 & q − 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Es ergibt sich nun folgende Wachstumsfunktion von (2, q, r):

f_{(2,q,r)}(x) = 1 − 2x − x^{2} + S · (1 − Ax)^{−1} · v_{1}x

=^{Maple}1 − 2x − x^{2} + 2x\frac{(q + r) + 2(qr − q − r)x + (q + r)x^{2}}{1 − (2 − 2q − 2r + qr)x^{2} + x^{4}}

= \frac{{1 + 2(q + r − 1)x + (3qr − 2q − 2r − 3)x^{2} + 2(qr − q − r + 2)x^{3} \atop +(qr − 2q − 2r + 3)x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}}{1 − (qr − 2q − 2r + 2)x^{2} + x^{4}} .

Diese Wachstumsformel stimmt übrigens mit der Wachstumsformel für (2, 3, r) überein, wenn q durch 3 ersetzt wird!

f_{(2,4,4)}(x) = 1 − 2x − x^{2} + 2x \frac{8 + 16x + 8x^{2}}{1 − 2x^{2} + x^{4}} = 1 − 2x − x^{2} + \frac{16x}{1 − 2x + x^{2}} = \frac{1 + 12x + 4x^{2} − x^{4}}{(1 − x)^{2}}

= \frac{1 + 14x + 29x^{2} + 20x^{3} + 3x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − 2x^{2} + x^{4}} = 1 + 14x + 31x^{2} + 48x^{3} + 64x^{4} + …,

f_{(2,4,5)}(x) = \frac{1 + 16x + 39x^{2} + 26x^{3} + 5x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − 4x^{2} + x^{4}} = 1 + 16x + 43x^{2} + 90x^{3} + 176x^{4} + …,
f_{(2,5,5)}(x) = \frac{1 + 18x + 52x^{2} + 34x^{3} + 8x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − 7x^{2} + x^{4}} = 1 + 18x + 59x^{2} + 160x^{3} + 420x^{4} + …,
f_{(2,5,6)}(x) = \frac{1 + 20x + 65x^{2} + 42x^{3} + 11x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − 10x^{2} + x^{4}} = 1 + 20x + 75x^{2} + 242x^{3} + 760x^{4} + ….

§2.3. Spitzwinklige Dreieckspflasterungen 41

§2.3. Spitzwinklige Dreieckspflasterungen

In diesem Abschnitt ist F ein Dreieck mit den Winkeln α = \frac{π}{p}, β = \frac{π}{q} und γ = \frac{π}{r}, wobei 3 ≤ p, q, r < ∞ und p, q, r ∈ IN. Sei nun die hyperbolische* Ebene mit F durch Spiegelungen an den Dreieckskanten gepflastert. Eine Ecke der Pflasterung ist eine p-Ecke, falls die Dreiecke an dieser Ecke den Winkel \frac{π}{p} aufweisen. Entsprechend sind die q-Ecken und r-Ecken definiert. Jedes Dreieck der Pflasterung hat genau eine p-, eine q- und eine r-Ecke.

Diese Pflasterung ist viel einfacher als eine (2, q, r)-Pflasterung zu handhaben, weil alle Schalen konvex sind und es nur Eck- und Kantendreiecke gibt: drei Typen von Eckdreiecken und drei Typen von Kantendreiecken.

Typ 1: Ein Dreieck vom Typ 1 hat nur seine p-Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam. Typ 2: Ein Dreieck vom Typ 2 hat nur seine q-Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam. Typ 3: Ein Dreieck vom Typ 3 hat nur seine r-Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam.

(3, 4, 5)  p = 3, q = 4, r = 5_{Figure} ^{^{3}^{3}^{5} ^{3}^{3}^{3}^{3}^{p}  ^{q} ^{p}  ^{r}^{q}  ^{q}  ^{p}  ^{p}  ^{r}^{q}  ^{r}^{r}  ^{p}^{q}^{p}  ^{q}^{r}  ^{p} 6 5^{3}  ^{2}  ^{2}^{2} ^{2}^{2}^{4} 11 ^{2}^{2}^{4}  1^{2} ^{2}^{3}^{3}^{3}^{3}^{3} ^{3} ^{4}^{2} ^{2} ^{2} ^{6}^{1} ^{1} ^{6}  ^{6}^{2}^{2}^{2}  ^{6} ^{1}  ^{5} ^{1}^{1}^{5}^{3}^{3}^{5} ^{3}^{3}^{3}^{3}^{3} ^{3}  ^{1}^{4} ^{3} ^{3} ^{3}  ^{5} ^{1}^{2}^{6}^{6}^{3}  ^{3}^{3}  ^{3}^{3}  ^{1}^{6}^{3} ^{2} ^{2}^{2}^{1} ^{1}^{2}^{1} ^{2} ^{2}^{2}^{2}}

* bzw. euklidische, falls p = q = r = 3 Typ 4: Ein Dreieck vom Typ 4 hat nur seine qr-Kante mit der vorigen Schale gemein-

sam. Nur die p-Ecke hat Kontakt zur nächsten Schale. Typ 5: Ein Dreieck vom Typ 5 hat nur seine pr-Kante mit der vorigen Schale gemein-

sam. Nur die q-Ecke hat Kontakt zur nächsten Schale. Typ 6: Ein Dreieck vom Typ 6 hat nur seine pq-Kante mit der vorigen Schale gemein-

sam. Nur die r-Ecke hat Kontakt zur nächsten Schale.

Typ 1: Sei P ein Dreieck vom Typ 1. Dann berührt es mit seiner p-Ecke die vorige Schale. Sei e_{pq} die Kante von P von der p-Ecke zur q-Ecke und sei e_{pr} die Kante von der p-Ecke zur r-Ecke. e_{qr} sei die dritte Kante von P. e_{qr} ist die Grundkante eines Dreiecks vom Typ 4 in der nächsten Schale. Zwischen dem Dreieck vom Typ 4 und der Verlängerung von e_{pq} befinden sich in der nächsten Schale q − 2 Dreiecke vom Typ 2. Zwischen dem Dreieck vom Typ 4 und der Verlängerung von e_{pr} befinden sich in der nächsten Schale r − 2 Dreiecke vom Typ 3. In der Wachstumsmatrix werde ich daher angeben, daß aus einem Dreieck vom Typ 1 genau ein Dreieck vom Typ 4, q−2 Dreiecke vom Typ 2 und r − 2 Dreiecke vom Typ 3 entstehen.

Typen 2, 3: Entsprechend entstehen aus einem Dreieck vom Typ 2 genau ein Dreieck vom Typ 5, p − 2 Dreiecke vom Typ 1 und r − 2 Dreicke vom Typ 3 und aus einem Dreieck vom Typ 3 genau ein Dreieck vom Typ 6, p − 2 Dreiecke vom Typ 1 und q − 2 Dreiecke vom Typ 2.

Damit habe ich beschrieben, was an einem Eckdreieck in der nächsten Schale in dem von den beiden Seitenkanten aufgespannten Sektor geschieht. Bei zwei benachbarten Eckdreiecken passen diese Sektoren immer genau aneinander. Eine Ausnahme ist gegeben, wenn sich ein Kantendreieck zwischen zwei Eckdreiecken befindet. Denn dann überlappen sich diese beiden Sektoren in einem Dreieck. Typ 4: Sei P ein Dreieck vom Typ 4 mit den Kanten e_{qr}, e_{qp} und e_{rp}. Die Kante e_{qr} gehört zur vorigen Schale, an der Kante e_{qp} befindet sich in derselben Schale ein Dreieck vom Typ 2 und an der Kante e_{rp} ist in derselben Schale ein Dreieck vom Typ 3. An der p-Ecke befinden sich in der nächsten Schale genau 2p − 5 Dreiecke vom Typ 1. Davon zählen p − 2 Dreiecke zum Sektor des Typ 3-Dreiecks und p − 2 Dreiecke zum Sektor des Typ 2-Dreiecks. Somit gehört das mittlere der 2p − 5 Dreiecke zu beiden Sektoren. In der Wachstumsfunktion gebe ich deshalb an, daß aus einem Dreieck vom Typ 4 genau −1 Dreiecke vom Typ 1 entstehen. Die −1 dient als Korrektur, da ein Dreieck vom Typ 1 sonst doppelt gezählt würde. Typen 5, 6: Entsprechend entstehen aus einem Dreieck vom Typ 5 bzw. Typ 6 jeweils genau −1 Dreiecke vom Typ 2 bzw. Typ 3.

In der ersten Schale befinden sich ein Dreieck vom Typ 4, ein Dreieck vom Typ 5, ein Dreieck vom Typ 6, 2p − 3 Dreiecke vom Typ 1, 2q − 3 Dreiecke vom Typ 2 und 2r − 3 Dreiecke vom Typ 3. Der Typenvektor der ersten Schale lautet somit:

v_{1} := ( \begin{matrix}2p − 3 \\ 2q − 3 \\ 2r − 3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsmatrix lautet:

A := ( \begin{matrix}0 & p − 2 & p − 2 & −1 & 0 & 0 \\ q − 2 & 0 & q − 2 & 0 & −1 & 0 \\ r − 2 & r − 2 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Weil die Wachstumsmatrix symmetrisch bzgl. p, q und r ist, sei Σ := p + q + r und Π := pq + pr + qr. Die Wachstumsfunktion von (p, q, r) lautet dann:

f(x) = 1 + ( 1 … 1 ) · (1 − Ax)^{−1} · v_{1}x

=^{Maple}1 + 2x\frac{(Σ − 3)(1 + x^{4}) + (2Π − 6Σ + 12)(x + x^{3}) + (3pqr − 5Π + 10Σ − 18)x^{2}}{(1 + x^{6}) − (Π − 4Σ + 9)(x^{2} + x^{4}) − (2pqr − 4Π + 8Σ − 16)x^{3}}

= \frac{{(1 + x^{6}) + (2Σ − 6)(x + x^{5}) + (3Π − 8Σ + 15)(x^{2} + x^{4}) \atop +(4pqr − 6Π + 12Σ − 20)x^{3}}}{1 − (Π − 4Σ + 9)x^{2} − (2pqr − 4Π + 8Σ − 16)x^{3} − (Π − 4Σ + 9)x^{4} + x^{6}} .

Beispiele:

f_{(3,4,5)}(x) = 1 + 2x \frac{9 + 34x + 47x^{2} + 34x^{3} + 9x^{4}}{1 − 8x^{2} − 12x^{3} − 8x^{4} + x^{6}} = \frac{1 + 18x + 60x^{2} + 82x^{3} + 60x^{4} + 18x^{5} + x^{6}}{1 − 8x^{2} − 12x^{3} − 8x^{4} + x^{6}}
f_{(3,3,4)}(x) = 1 + 2x \frac{7 + 11x + 7x^{2}}{1 − x − 2x^{2} − x^{3} + x^{4}}

= \frac{1 + 13x + 20x^{2} + 13x^{3} + x^{4}}{1 − x − 2x^{2} − x^{3} + x^{4}}

(3, 3, 4) Figure

= 1 + 18x + 68x^{2} + 238x^{3} + 828x^{4} + 2882x^{5} + …, = 1 + 14x + 36x^{2} + 78x^{3} + 164x^{4} + ….

§2.4. Einige gleichschenklige Dreiecke

In diesem Abschnitt betrachte ich Dreieckspflasterungen der Form (p, p, r) mit 1 < p, r < ∞ und p ∈ ℤ, r ∈ \frac{1}{2} + ℤ. Die sphärischen Pflasterungen darunter sind:

• (2, 2, n/2) mit n ∈ {3, 5, 7, …}. Bei (2, 2, n/2) handelt es sich um eine Doppelpyramide mit f(x) = 1 + (n + 2)x + (n − 3)x^{2}.

• (3, 3, 3/2) und (3, 3, 5/2). (3, 3, 5/2) entsteht, indem jede Seite eines Dodekaeders in fünf Dreiecke unterteilt wird. f_{(3,3,5/2)}(x) = 1 + 11x + 18x^{2} + 18x^{3} + 11x^{4} + x^{5}.

• (4, 4, 1.5) und (5, 5, 1.5). Dagegen ist (6, 6, 3/2) eine euklidische Pflasterung:

Figure

Ich unterscheide in der (6, 6, 3/2)-Pflasterung Zweierblöcke, die ich im Folgenden mit Typ 2 bezeichne, und Sechserblöcke, die ich wegen der großen Ähnlichkeit mit den Sechserblöcken der (2, q, r)-Pflasterungen mit Typ 5 bezeichne. (6, 6, 3/2) ist ab der zweiten Schale regelmäßig und hat die Wachstumsfunktion

f_{(6,6,3/2)}(x) = 1 + 21x + \frac{(8 · 6 + 6 · 2)x^{2}}{1 − x} + \frac{(6 · 6)x^{3}}{(1 − x)^{2}}

= 1 − 3x + 12x\frac{2 + x}{(1 − x)^{2}} = \frac{1 + 19x + 19x^{2} − 3x^{3}}{(1 − x)^{2}}

= 1 + 21x + 60x^{2} + 96x^{3} + 132x^{4} + 168x^{5} + …, §2.4. Einige gleichschenklige Dreiecke 45

denn: In jeder Schale gibt es genau sechs Blöcke vom Typ 2 (an jeder ”Schalenecke“ einer). In der zweiten Schale sind acht Blöcke vom Typ 5 und sechs Zweierblöcke, deswegen ist der Term 8 · 6 + 6 · 2 in der ersten Zeile der Formel. Es kommen in jeder Schale sechs Blöcke vom Typ 5 hinzu (daher der Term 6 · 6). Der Summand 1−3x in der zweiten Zeile der Formel ist ein Korrekturterm, wie er schon in der Berechnung der Wachstumsfunktion von (2, q, r) vorkam. Er entsteht, weil sich zwei Blöcke vom Typ 5 in der ersten Schale das schwarze Dreieck der nullten Schale und das Nachbardreieck an der langen Kante teilen.

Als nächstes wende ich mich den hyperbolischen Pflasterungen (p, p, 3/2) mit p ≥ 7 zu. Wie bei der (6, 6, 3/2)-Pflasterung unterscheide Blöcke vom Typ 2 und Typ 5. Zeilenvektor, Wachstumsmatrix und Typenvektor von (p, p, 3/2) lauten:

S := ( 2 6 ) , A := ( \begin{matrix}p − 5 & p − 6 \\ 2/2 & 2/2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p − 5 & p − 6 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}2(p − 3) \\ 2 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsfunktion von (p, p, 3/2) lautet:

\begin{aligned}f_{(p,p,3/2)}(x) & = 1 − 3x + S(1 − Ax)^{−1}v_{1}x = 1 − 3x + 4x\frac{p + 3x}{1 − (p − 4)x + x^{2}} \\ & = \frac{1 + (3p + 1)x + (3p + 1)x^{2} − 3x^{3}}{1 − (p − 4)x + x^{2}} . \end{aligned}

f_{(7,7,3/2)}(x) = \frac{1 + 22x + 22x^{2} − 3x^{3}}{1 − 3x + x^{2}} = 1 + 25x + 96x^{2} + 260x^{3} + 684x^{4} + ….

Zum Schluß dieses Abschnittes komme ich zu den Pflasterungen (p, p, r) mit (p ≥ 4 und r = 5/2) oder (p ≥ 3 und r ∈ \{\frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}, …\}). Ich verwende hier die gleichen Typen wie im allgemeinen Fall (p, q, r). Wegen p = q werden die Typen 1 und 2 sowie 4 und 5 zusammengefaßt. A und v_{1} lauten dann mit der Typenreihenfolge 1, 3, 4, 6:

A := ( \begin{matrix}p − 2 & 2p − 4 & −1 & 0 \\ r − 2 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}4p − 6 \\ 2r − 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) .

§2.4. Einige gleichschenklige Dreiecke 47 In das nachfolgende Bild sind die Typen eingetragen:

(4, 4, \frac{5}{2})  p = 4, r = \frac{5}{2}_{Figure} ^{^{1}  ^{1} ^{1}^{4} 1 4 ^{1} ^{3}^{4} ^{1}^{1}^{3}^{1}^{1}^{4}  ^{1} ^{1}^{4}^{1}  ^{1}^{1}  ^{1} 3^{1} ^{1} ^{6}^{r} ^{p}^{r} ^{r}  ^{p}^{p}^{p}  ^{p}  ^{r}^{r}  ^{p}^{p}^{r}^{p}^{p}  ^{4}^{1} 6^{1}^{1}^{4} 1 4^{1}  ^{4}^{1}^{1}  ^{1} ^{1} 3^{1}^{1}^{6}^{1}^{4}  ^{1}^{1}^{1}^{1}^{4}^{3}^{4}^{1}^{1}^{1} ^{3}  ^{4} ^{1}^{3}^{4}  ^{4}^{1}  ^{1}^{1}^{3} ^{4}^{1}^{1}}

Eine ähnliche Vorgehensweise wie in §2.3. zeigt, daß A und v_{1} auch in diesem Fall gelten.

\begin{aligned}f_{(p,p,r)}(x) & = 1 + 2x\frac{(2p + r − 3) + (3pr − 5p − 4r + 6)x + (2p + r − 3)x^{2}}{1 − (p − 2)x − (2pr − 4p − 4r + 6)x^{2} − (p − 2)x^{3} + x^{4}} \\ & = \frac{1 + (3p + 2r − 4)x + (4pr − 6p − 4r + 6)x^{2} + (3p + 2r − 4)x^{3} + x^{4}}{1 − (p − 2)x − (2pr − 4p − 4r + 6)x^{2} − (p − 2)x^{3} + x^{4}} . \end{aligned}

Zwei Beispiele:

f_{(3,3,3.5)}(x) = 1 + x \frac{13 + 17x + 13x^{2}}{1 − x − x^{2} − x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 12x + 16x^{2} + 12x^{3} + x^{4}}{1 − x − x^{2} − x^{3} + x^{4}}
f_{(4,4,2.5)}(x) = 1 + 3x \frac{5 + 4x + 5x^{2}}{1 − 2x − 2x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 13x + 12x^{2} + 13x^{3} + x^{4}}{1 − 2x − 2x^{3} + x^{4}}

= 1 + 13x + 30x^{2} + 56x^{3} + 99x^{4} + 172x^{5} + 297x^{6} + 512x^{7} + …, = 1 + 15x + 42x^{2} + 99x^{3} + 228x^{4} + 525x^{5} + 1206x^{6} + ….

§2.5. Gleichseitige Dreiecke

In diesem Abschnitt sei F ein gleichseitiges Dreieck mit dem Innenwinkel α = π/p, wobei 1 < p < ∞ und p ∈ \frac{1}{2}ℤ. Es wird die Wachstumsfunktion der Pflasterung (p, p, p) bestimmt. Neu ist der Fall p ∈ \frac{1}{2} + ℤ, der nicht in §2.3. vorkommt.

(3/2, 3/2, 3/2), (2, 2, 2) und (5/2, 5/2, 5/2) sind Pflasterungen der Kugeloberfläche: • (3/2, 3/2, 3/2) ist ein Tetraeder mit f(x) = 1 + 3x.

• (2, 2, 2) ist ein Oktaeder mit f(x) = 1 + 6x + x^{2} (siehe 2.2.1.).

• (5/2, 5/2, 5/2) ist ein Ikosaeder mit f(x) = 1 + 9x + 9x^{2} + x^{3}.

Sei im Folgenden p ≥ 3. Die Vorgehensweise entspricht dem allgemeinen Fall (p, q, r) in §2.3., jedoch mit der Vereinfachung, daß es nur einen Ecktyp (Typ 1) und einen Kantentyp (Typ 2) gibt, da alle Ecken bzw. Kanten gleich sind. Aus einem Eckdreieck entstehen in der nächsten Schale (in dem durch die beiden Seitenkanten erzeugten Sektor) ein Kantendreieck und 2(p − 2) Eckdreiecke. Ist p ∈ \frac{1}{2} + ℤ, so teilt sich das Eckdreieck in der nächsten Schale jeweils ein Eckdreieck mit dem linken und dem rechten Nachbar, d.h., es entstehen 2(p − 2.5) + 2 · \frac{1}{2} Eckdreiecke. Ein Kantendreieck hat zwei Eckdreiecke als Nachbarn, deren Sektoren sich in einem Dreieck (oder zwei halben Dreiecken, falls p ∈ \frac{1}{2} +ℤ) überschneiden. Damit das Dreieck (oder die beiden halben Dreiecke) nicht doppelt gezählt werden, sage ich, daß aus einem Kantendreieck in der nächsten Schale genau −1 Eckdreiecke entstehen.

A := ( \begin{matrix}2(p − 2) & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}3(2p − 3) \\ 3 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsfunktion lautet:

f_{(p,p,p)}(x) = 1 + 3x\frac{2p − 2}{1 − (2p − 4)x + x^{2}} = \frac{1 + (4p − 2)x + x^{2}}{1 − (2p − 4)x + x^{2}} .

Zwei Beispiele:

f_{(3,3,3)}(x) = \frac{1 + 10x + x^{2}}{(1 − x)^{2}}
f_{(7/2,7/2,7/2)}(x) = \frac{1 + 12x + x^{2}}{1 − 3x + x^{2}}

(7/2, 7/2, 7/2) Figure

= 1 + 12x + 24x^{2} + 36x^{3} + …, = 1 + 15x + 45x^{2} + 120x^{3} + 315x^{4} + ….

§2.6. Nichtkompakte Dreiecke 49

§2.6. Nichtkompakte Dreiecke

In diesem Abschnitt schaue ich mir nicht-kompakte Dreiecke an. Dies sind Dreiecke, die mindestens eine Ecke im Unendlichen haben. Dreiecksecken, die sich im Unendlichen befinden, gehören nicht zum Dreieck selbst. Im konformen Kreismodell der hyperbolischen Ebene sind die Punkte im Unendlichen gerade die Punkte auf dem Kreisrand.

Figure

Ein Beispiel im euklidischen Raum ist die Pflasterung der Ebene mit Dreiecken, die zwei rechte Winkel und einen 0^{∘}-Winkel haben. Die Ecke mit dem 0^{∘}-Winkel befindet sich im Unendlichen. Bei perspektivischer Darstellung ist zu sehen, daß die beiden unendlich langen Kanten eines Dreiecks sich im Unendlichen treffen. Die Wachstumsfunktion lautet:

\begin{aligned}f_{(2,2,∞)}(x) & = 1 + x + \frac{4x}{1 − x} = \frac{1 + 4x − x^{2}}{1 − x} \\ & = 1 + 5x + 4x^{2} + 4x^{3} + 4x^{4} + 4x^{5} + …. \end{aligned}

Sei im Folgenden F ein Dreieck mit den Winkeln α = \frac{π}{p}, β = \frac{π}{q} und γ = \frac{π}{∞} = 0^{∘}, wobei p, q ∈ ℤ mit 2 ≤ p, q < ∞. Die hyperbolische Ebene* sei mittels Spiegelungen an den Dreieckskanten gepflastert. Solch eine Pflasterung bezeichne ich mit (p, q, ∞). Durch Ecken im Unendlichen vereinfacht sich die Berechnung der Wachstumsfunktion, denn in der näheren Umgebung entstehen keine komplizierter Konfigurationen. So reichen zur Beschreibung des Schalenwachstums von (p, q, ∞) zwei Typen von Dreiecken. Ein Dreieck vom Typ 1 hat seine q∞-Kante mit der nächsten Schale gemeinsam, und ein Dreieck vom Typ 2 hat seine p∞-Kante mit der nächsten Schale gemeinsam (siehe Bild auf der nächsten Seite). Eine Ausnahme ist das Dreieck F′ in der ersten Schale, welches sich an der pq-Kante von F befindet. Aus einem Dreieck vom Typ 1 entstehen an der q∞-Kante in der nächsten Schale genau q − 1 Dreiecke vom Typ 2, und aus einem Dreieck vom Typ 2 entstehen in der nächsten Schale an der p∞-Kante genau p − 1 Dreiecke vom Typ 1. In der ersten Schale befinden sich 2p − 2 Dreiecke vom Typ 1, 2q − 2 Dreiecke vom Typ 2 und das Ausnahmedreieck F′.

A := ( \begin{matrix}0 & p − 1 \\ q − 1 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}2p − 2 \\ 2q − 2 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsfunktion von (p, q, ∞) lautet (der Summand +x trägt dem F′ Rechnung):

\begin{aligned}f_{(p,q,∞)}(x) & = 1 + x + 2x\frac{p + q − 2 + 2(pq−p−q+1)x}{1 − (pq − p − q + 1)x^{2}} = −3 + x + \frac{4 − (2p + 2q − 4)x}{1 − (pq−p−q+1)x^{2}} \\ & = \frac{1 + (2p + 2q − 3)x + 3(pq − p − q + 1)x^{2} − (pq − p − q + 1)x^{3}}{1 − (pq − p − q + 1)x^{2}} . \end{aligned}

* bzw. euklidische Ebene im Fall p = q = 2 50 2. Dreieckspflasterungen

\begin{aligned}f_{(2,3,∞)}(x) & = 1 + x + 2x \frac{4x + 3}{1 − 2x^{2}} = −3 + x + \frac{4 + 6x}{1 − 2x^{2}} = \frac{1 + 7x + 6x^{2} − 2x^{3}}{1 − 2x^{2}} \\ & = 1 + 7x + 8x^{2} + 12x^{3} + 16x^{4} + 24x^{5} + 32x^{6} + 48x^{7} + 64x^{8} + …. \end{aligned}

Figure^{^{∞}^{p}  ^{q} 1  ^{p}^{p} 2^{2}^{2}  2^{∞} 1  22^{2}^{2}  ^{1} ^{1}^{1}^{1}^{p}^{p}^{1}^{1}  ^{2} ^{2}^{2}^{2} ^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2} ^{2} ^{2}^{1}^{2}  ^{q}^{2}^{2}  ^{F}^{F′}^{1}  ^{1}  ^{1}  ^{1}^{1}^{1}^{1}^{1}^{1} ^{q}^{q}^{∞}  ^{∞}}

Beispiele: Oben ist eine (2, 3, ∞)-Pflasterung (mit Typen), rechts eine (5, 3, ∞)-Pflasterung.

f_{(5,3,∞)}(x) = 1 + x + 4x \frac{3 + 8x}{1 − 8x^{2}} = −3 + x + \frac{4 + 12x}{1 − 8x^{2}}

= \frac{1 + 13x + 24x^{2} − 8x^{3}}{1 − 8x^{2}}

= 1 + 13x + 32x^{2} + 96x^{3} + 256x^{4} + 768x^{5} + ….

Jetzt soll F zwei Ecken im Unendlichen haben: (p, ∞, ∞), wobei 3/2 ≤ p < ∞. Typ 1 hat seine ∞∞-Kante mit der nächsten Schale gemeinsam, und Typ 2 hat seine zwei p∞-Kanten mit der nächsten Schale gemeinsam. In der ersten Schale befinden sich 2p − 1 Dreiecke vom Typ 1 und eines vom Typ 2.

A := ( \begin{matrix}0 & 2p − 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}2p − 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

f_{(p,∞,∞)}(x) = −1 + \frac{2 + 2px}{1 − (2p − 1)x^{2}} = \frac{1 + 2px + (2p − 1)x^{2}}{1 − (2p − 1)x^{2}} .

\begin{aligned}f_{(3/2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − 2x^{2}} = 1 + 3x + 4x^{2} + 6x^{3} + 8x^{4} + 12x^{5} + 16x^{6} + …, \\ f_{(2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 4x + 3x^{2}}{1 − 3x^{2}} = 1 + 4x + 6x^{2} + 12x^{3} + 18x^{4} + 36x^{5} + 54x^{6} + …, \\ f_{(5/2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 5x + 4x^{2}}{1 − 4x^{2}} = 1 + 5x + 8x^{2} + 20x^{3} + 32x^{4} + 80x^{5} + 128x^{6} + …, \\ f_{(3,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 6x + 5x^{2}}{1 − 5x^{2}} = 1 + 6x + 10x^{2} + 30x^{3} + 50x^{4} + 150x^{5} + 250x^{6} + …. \end{aligned}

(3/2, ∞, ∞)_{Figure}  ^{(5/2, ∞, ∞)}_{Figure}^{2 1 1 ^{2} ^{1}^{1} ^{1}^{1}  ^{1}^{1}^{1} 11^{2}^{1}^{1}^{1}^{1}  ^{2}^{1}^{2}^{1} ^{1} ^{1}  ^{2}  ^{1}^{2}  ^{2}^{1}^{1}^{1}  ^{1}^{2}}

(2, ∞, ∞) Figure  ^{(3, ∞, ∞)} Figure

Der Fall (∞, ∞, ∞), d.h. F hat drei Spitzen, ist bereits auf Seite 17ff behandelt worden.

Kapitel 3: Einige Untergruppen von PSL_{2}(ℤ)

Es ist SL_{2}(ℤ) := \{({a b \atop c d}) | a, b, c, d ∈ ℤ mit ad−bc = 1\} und PSL_{2}(ℤ) := SL_{2}(ℤ)/±({1 0 \atop 0 1}). Für n ∈ IN sei

Γ^{0}(n) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℤ) | b ≡ 0 mod n\}
und Γ̄^{0}(n) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ PSL_{2}(ℤ) | b ≡ 0 mod n\}.

Jedes Γ̄^{0}(n) ist eine Untergruppe von PSL_{2}(ℤ) von endlichem Index, Γ̄^{0}(1) = PSL_{2}(ℤ). PSL_{2}(ℤ) ist wiederum eine Untergruppe von PSL_{2}(IR). PSL_{2}(IR) kann mit Isom^{+}(IH^{2}), der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Ebene, durch die folgende Abbildung identifiziert werden:

PSL_{2}(IR) → Isom^{+}(IH^{2}), A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ A·,

wobei A·: IH^{2} → IH^{2} definiert ist durch

A · z := \frac{az + b}{cz + d}.

Dabei ist IH^{2} := {x + yi | x, y ∈ IR, y > 0} ⊂ C die obere Halbebene, ein weiteres konformes Modell der hyperbolischen Ebene (siehe auch S. 53 unten). Sei F ⊂ IH^{2} ein Fundamentalbereich einer Untergruppe Γ von PSL_{2}(IR). Mit der Setzung T_{γ} := γ · \overline{F} ist (IH^{2}, (T_{γ})_{γ∈Γ}) eine Pflasterung von IH^{2} im Sinne der Definition aus der Einleitung. In den folgenden Abschnitten berechne ich Wachstumsfunktionen solcher Pflasterungen für einige Γ̄^{0}(n).

§3.1. Ideale Fundamentalbereiche

In diesem Abschnitt betrachte ich Untergruppen U von PSL_{2}(IR), die einen bestimmten Fundamentalbereich besitzen: Und zwar soll der Fundamentalbereich die Form eines Polygons haben, dessen Ecken alle im Unendlichen sind. Sei r die Anzahl dieser Ecken. Durch eine Argumentation wie in §1.4. folgt:

f_{(IH^{2},(γ·F̄)_{γ∈U}),F̄}(x) = 1 + \frac{rx}{1 − (r − 1)x} = −\frac{1}{r − 1} + \frac{r}{r − 1} · \frac{1}{1 − (r − 1)x}

= \frac{1 + x}{1 − (r − 1)x}

= 1 + rx + r(r − 1)x^{2} + r(r − 1)^{2}x^{3} + r(r − 1)^{3}x^{4} + ….

Werden die in [Spitzley, 82ff] aufgelisteten Fundamentalbereiche der Γ̄^{0}(n) leicht variiert, ergibt sich z.B., daß die Gruppen Γ̄^{0}(2) mit r = 3, Γ̄^{0}(4) mit r = 4, Γ̄^{0}(6) und Γ̄^{0}(8) mit r = 6, Γ̄^{0}(10) mit r = 8, Γ̄^{0}(12), Γ̄^{0}(14) und Γ̄^{0}(16) mit r = 10, Γ̄^{0}(18) und Γ̄^{0}(20) mit r = 14 Fundamentalbereiche von solcher Gestalt besitzen.

§3.2. Vergleich verschiedener Fundamentalbereiche 53

§3.2. Vergleich verschiedener Fundamentalbereiche

In diesem Abschnitt zeige ich anhand der Gruppen PSL_{2}(ℤ), Γ̄^{0}(2), Γ̄^{0}(3) und Γ̄^{0}(5), wie sich die Wahl des Fundamentalbereichs auf die Wachstumsfunktion auswirken kann. Dadurch wird deutlich, daß die Wachstumsfunktion an sich keine Gruppeninvariante ist, weil sie nicht nur von der Gruppe, sondern auch vom Fundamentalbereich abhängt.

3.2.1. PSL_{2}(ℤ)

Figure _{F _{i} _{1} _{IH^{2}}} Ein wichtiger Fundamentalbereich ist F := \{x + yi ∈ C | − \frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, x^{2} + y^{2} ≥ 1\}, wobei genau genommen F = F̄′ der Abschluß eines Fundamentalbereichs F′ der Gruppe PSL_{2}(ℤ) ist. F′ spielt zum Beispiel eine große Rolle bei der Klassifikation der Gitter in C. F ist Teilmenge der oberen Halbebene und hat die Gestalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Ecke im Unendlichen und zwei 60^{∘}-Winkeln (an den Ecken ±\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i). Dieses Dreieck ist ein Grundbaustein, aus welchem z.B. die Fundamentalbereiche der Γ̄^{0}(n) gewöhnlich zusammengesetzt werden. Manchmal wird F selbst entlang der mittleren Achse in zwei gleiche Hälften zerlegt. Ich werde im Folgenden von Grundbausteinen und halben Grundbausteinen sprechen*

Üblicherweise wird PSL_{2}(ℤ) in der oberen Halbebene dargestellt:

Figure

[Exkurs 1

Da auf dieser Seite ursprünglich noch ein wenig Platz war, ein paar Bemerkungen zur oberen Halbebene:

Die obere Halbebene {x + yi ∈ C | y > 0} ist der Teil der komplexen Ebene über der reellen Achse (der x-Achse). Dort wird die hyperbolische Ebene

54 3. Einige Untergruppen von PSL_{2}(ℤ)

* In manchen Arbeiten wird F auch als Streifen oder modulares Dreieck bezeichnet. dargestellt. Hyperbolische Geraden haben in diesem Modell entweder die Form von euklidischen Geraden, welche parallel zur y-Achse sind, oder die Form von Halbkreisen, welche die x-Achse senkrecht schneiden. Die Ecken im Unendlichen sind die Punkte der reellen Achse und ein weiterer unendlicher Punkt: IR ∪ {∞}. Dieses Modell ist konform (winkeltreu und lokal maßstabsgetreu), d.h., die euklidischen Winkel stimmen mit den hyperbolischen Winkeln überein. Siehe z.B. [Benedetti].

Exkursende]

Der Schalenaufbau ist meiner Meinung nach aber besser im konformen Kreismodell zu erkennen:

Figure

[Exkurs 2

Da ich eben ein paar Bemerkungen zur oberen Halbebene machte, folgen hier ein paar Bemerkungen zum konformen Kreismodell:

Figure Das konforme Kreismodell ist eine Darstellung der hyperbolischen Ebene im Inneren des Einheitskreises. Die hyperbolischen Geraden haben dabei die Form von euklidischen Geraden durch den Ursprung oder Kreissegmenten, welche den Einheitskreisrand rechtwinklig schneiden. Siehe auch [Beardon] oder [Benedetti]. Wie der Name schon sagt, ist auch dieses Modell konform. Es gibt übrigens auch eine nichtkonforme Darstellung der hyperbolischen Ebene im Einheitskreis: das nichtkonforme Kreismodell. Bei diesem Modell sind die hyperbolischen Geraden auch euklidische Geraden. Die euklidischen Winkel stimmen allerdings nicht mehr mit den hyperbolischen Winkeln überein.

PSL_{2}(ℤ) im nichtkonformen Kreismodell →

Exkursende]

Die auf Seite 53 angegebene Pflasterung mit F ist eine (3, 3, ∞)-Pflasterung, wie sie in §2.6. betrachtet wurde. Ihre Wachstumsfunktion lautet

\begin{aligned}f_{(3,3,∞)}(x) & = 1 + x + \frac{8x}{1 − 2x} = −3 + x + \frac{4}{1 − 2x} = \frac{1 + 7x − 2x^{2}}{1 − 2x} \\ & = 1 + 9x + 16x^{2} + 32x^{3} + 64x^{4} + 128x^{5} + 256x^{6} + 512x^{7} + …. \end{aligned}

Nun nehme ich den Grundbaustein F, zerlege ihn in die zwei halben Grundbausteine und setze die beiden halben Grundbausteine an den 60^{∘}-∞-Kanten wieder zusammen. Es entsteht ein Viereck mit den Winkeln 90^{∘}, 120^{∘}, 90^{∘} und 0^{∘}, die zugehörige Pflasterung nenne ich daher (2, 3/2, 2, ∞).

Figure

(2, 3/2, 2, ∞) im konformen Kreismodell:

Figure

Von der dritten Schale an besteht jede Schale aus einzelnen Blöcken zu je fünf Vierecken. Aus einem solchen Fünferblock entstehen in der nächsten Schale jeweils zwei Fünferblöcke. Daher verdoppelt sich ab der dritten Schale immer die Anzahl von Polygonen in der Schale.

f_{(2,3/2,2,∞)}(x) = 1 + 6x + 12x^{2} + 25x^{3} + 50x^{4} + 100x^{5} + 200x^{6} + 400x^{7} + …

= 1 + 6x + 12x^{2} + \frac{25x^{3}}{1 − 2x}

= −17/8 − \frac{1}{4}x − \frac{1}{2}x^{2} + \frac{25}{8} \frac{1}{1 − 2x} = \frac{1 + 4x + x^{3}}{1 − 2x} .

Figure Jetzt nehme ich wieder den Fundamentalbereich F und entferne rechts einen halben Grundbaustein. Diesmal setze ich den entfernten Baustein aber nicht links an den übriggebliebenen Baustein, sondern unter den übriggebliebenen Baustein. Es entsteht ein Dreick mit den Ecken 0, ∞ und −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, sowie den Winkeln 0^{∘}, 0^{∘} und 120^{∘}, also (3/2, ∞, ∞).

Eine Darstellung von (3/2, ∞, ∞) im konformen Kreismodell und die Herleitung der Wachstumsfunktion sind auf Seite 51. Die Wachstumsfunktion lautet:

f_{(3/2,∞,∞)}(x) = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − 2x^{2}} = 1 + 3x + 4x^{2} + 6x^{3} + 8x^{4} + 12x^{5} + 16x^{6} + ….

3.2.2. Γ̄^{0}(2)

Als nächstes schaue ich mir drei verschiedene Fundamentalbereiche von Γ̄^{0}(2) an. Der Standardfundamentalbereich besteht aus zwei nebeneinander gesetzten Grundbausteinen und einem weiteren Grundbaustein, welcher sich unter der Kante von −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i nach \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i befindet. Das Fundamentalpolygon hat die Ecken 0, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, ∞ und −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i. An der Ecke \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i befindet sich ein 180^{∘}-Winkel, an der Ecke \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ein 60^{∘}-Winkel und an der Ecke −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ein 120^{∘}-Winkel.

Figure  ^{^{0}  ^{∞}  ^{1 + i}^{5}^{1} 2  3^{4}}

Die roten Pfeile im Bild geben die Verklebungsvorschriften an, nach denen die Kanten des Fundamentalbereichs verklebt werden: Der obere lange Pfeil entspricht einer Translation um 2 in x-Richtung, er gehört zum Element (_{0}^{1} _{1}^{2}) ∈ Γ̄^{0}(2). Der untere Pfeil gehört zum Element (_{1}^{1} _{1}^{0}) ∈ Γ̄^{0}(2) und läßt den Punkt 0 fest. Der mittlere Pfeil ist eine 180^{∘}-Drehung um den Punkt 1 + i und gehört zu (_{1}^{1} _{−1}^{−2}) ∈ Γ̄^{0}(2). Γ̄^{0}(2) operiert 2-bahnig auf den Ecken der Pflasterung im Unendlichen: Da jeder Pflasterstein durch ein Element von Γ̄^{0}(2) auf den Ausgangspflasterstein bewegt werden kann, ist es möglich, jede unendliche Ecke eines Pflastersteins entweder nach ∞ oder 0 zu transformieren.

Diese Pflasterung ist komplizierter als die beiden vorigen, aber dank der beiden Ecken im Unendlichen werden die Schalen in viele Abschnitte unterteilt.

Den fünf Polygonen in der ersten Schale ordne ich der Reihe nach die Typen 1 bis 5 zu. Typ 1: Ein Polygon vom Typ 1 ist an eine 0-120^{∘}-Kante der vorigen Schale angeklebt. Typ 2: An eine 120^{∘}-∞-Kante angeklebt. Typ 3: An eine ∞-60^{∘}-Kante geklebt, manchmal zusätzlich an eine 180^{∘}-0-Kante (dann ist es ein Doppelkantenpolygon). Typ 4: An eine 60^{∘}-180^{∘}-Kante geklebt. Typ 5: An eine 180^{∘}-0-Kante geklebt.

Figure^{1^{2}^{3}  ^{3}^{1}^{2}  ^{2}^{1}  ^{3}^{2}^{1}^{3}  ^{4} 5^{4} ^{5} ^{4}^{5}^{∞}^{0}  ^{∞}^{0}^{0}^{∞}}

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Wiederholung von Wachstumsmatrix und Typenvektor:

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Es ist möglich, die Typen 3 und 5 zusammenzufassen, dadurch würde sich eine kleinere Wachstumsmatrix ergeben.

\begin{aligned}f_{Γ̄^{0}(2)}(x) & = \frac{1 + 2x − x^{2}}{1 − 3x + x^{2}} = −1 + \frac{2 − x}{1 − 3x + x^{2}} \\ & = 1 + 5x + 13x^{2} + 34x^{3} + 89x^{4} + 233x^{5} + 610x^{6} + …. \end{aligned}

Nun zu einer zweiten Fundamentalbereichsvariante von Γ̄^{0}(2): Im vorigen Fundamentalbereich entferne ich rechts einen halben Grundbaustein und setze ihn links wieder an. Es entsteht eine Raute mit den Winkeln 0^{∘}, 90^{∘}, 0^{∘} und 90^{∘} an den Ecken 0, 1 + i, ∞ und −1 + i. Die Pflasterung bezeichne ich mit (2, ∞, 2, ∞).

Figure In der ersten Schale sind genau sechs Rauten, aus jeder Raute entstehen in der nächsten Schale genau drei weitere Rauten. Damit ergibt sich folgende Wachstumsfunktion:

Figure

f_{(2,∞,2,∞)}(x) = 1 + \frac{6x}{1 − 3x} = −1 + \frac{2}{1 − 3x} = \frac{1 + 3x}{1 − 3x} = 1 + 6x + 18x^{2} + 54x^{3} + ….

Eine dritte Fundamentalbereichsvariante von Γ̄^{0}(2) erhalte ich, indem ich im ersten Fundamentalbereich nun links einen halben Grundbaustein entferne und ihn rechts wieder ansetze. Es entsteht ein ideales Dreieck.

Figure

f_{(∞,∞,∞)}(x) = −\frac{1}{2} + \frac{3/2}{1 − 2x} = \frac{1 + x}{1 − 2x} = 1 + 3x + 6x^{2} + 12x^{3} + 24x^{4} + ….

3.2.3. Γ̄^{0}(3)

Jetzt gebe ich vier Fundamentalbereichsvarianten von Γ̄^{0}(3) an und berechne die zugehörigen Wachstumsfunktionen. Der Standardfundamentalbereich vom Γ̄^{0}(3) besteht aus drei Grundbausteinen von −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i bis \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i und einem vierten Grundbaustein unter dem ersten Grundbaustein: Wie beim Standardfundamentalbereich von Γ̄^{0}(2) numeriere ich die Polygone der ersten Schale mit den Typen 1 bis

6. Die orientierungserhaltenden Verklebungen sind wieder durch rote Pfeile angedeutet. Die Wachstumsmatrix A lautet:

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Figure

Figure^{1 2  ^{4}^{5}^{3}  ^{1}^{2} ^{6}  ^{1}  ^{2}  ^{3}  ^{6}^{4}6^{3}^{5}  ^{5}  ^{2}^{1}  ^{1}^{2} ^{3}^{6}  ^{5} ^{4}^{3}}

\begin{aligned}f_{Γ̄^{0}(3)}(x) & = −1 + \frac{2}{1 − 3x − x^{2} − x^{3}} = \frac{1 + 3x + x^{2} + x^{3}}{1 − 3x − x^{2} − x^{3}} \\ & = 1 + 6x + 20x^{2} + 68x^{3} + 230x^{4} + 778x^{5} + …. \end{aligned}

Vom Standardfundamentalbereich entferne ich jetzt an der rechten Seite einen halben Grundbaustein und setze ihn links wieder an. Es entsteht die zweite Variante eines Fundamentalbereichs von Γ̄^{0}(3) mit den Innenwinkeln 0^{∘}, 180^{∘}, 120^{∘}, 90^{∘}, 0^{∘} und 90^{∘} an den Ecken 0, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, 2 + i, ∞ und −1 + i. Die entstehende Pflasterung ist homöomorph zur ersten Pflasterung, d.h., es gibt einen Hömöomorphismus von IH^{2} in sich, der die Pflasterung des Standardfundamentalbereichs in die gerade konstruierte Pflasterung überführt. Daher sind auch die Wachstumsfunktionen identisch.

Eine dritte Variante erhalte ich, indem ich beim Standardfundamentalbereich rechts einen ganzen Grundbaustein entferne und links wieder ansetze. Es entsteht wieder eine Raute, diesmal mit den Winkeln 0^{∘}, 60^{∘}, 0^{∘} und 60^{∘}.

Figure

In der ersten Schale sind 10 Rauten, aus jeder Raute entstehen in der nächsten Schale fünf Rauten.

f_{(3,∞,3,∞)}(x) = 1 + \frac{10x}{1 − 5x}

= −1 + \frac{2}{1 − 5x}

= \frac{1 + 5x}{1 − 5x}

= 1 + 10x + 50x^{2} + 250x^{3} + ….

Figure

Eine vierte Variante entsteht, indem ich vom Standardfundamentalbereich jetzt links einen halben Grundbaustein entferne und ihn rechts anklebe. Dann entsteht ein Drache mit den Winkeln 0^{∘}, 120^{∘}, 0^{∘} und 0^{∘} an den Ecken 0, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, 3 und ∞.

Im konformen Kreismodell sieht der Drache auf dem ersten Blick nicht wie ein euklidischer Drache aus, aber das ist im Hyperbolischen ja sowieso öfter der Fall :-)

Figure^{^{1}^{1}  ^{2} ^{2} ^{1}^{1}^{1} ^{1}^{2}^{2}^{1}  ^{1} 2  2}

Ich unterscheide zwei Arten von Drachen: solche, die keinen Nachbarn in derselben Schale haben (Typ 1) und solche, die einen Nachbardrachen in derselben Schale haben (Typ 2).

A := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .

\begin{aligned}f_{(3/2,∞,∞,∞)}(x) & = −\frac{1}{2} + \frac{1}{2} · \frac{3 + 5x}{1 − x − 4x^{2}} = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − x − 4x^{2}} \\ & = 1 + 4x + 10x^{2} + 26x^{3} + 66x^{4} + 170x^{5} + 434x^{6} + 1114x^{7} + …. \end{aligned}

Die in diesem Kapitel berechneten Wachstumsfunktionen zeigen, daß eine Wachstumsfunktion keine Gruppeninvariante ist. Die Wachstumsfunktionen besitzen aber andere interessante Eigenschaften. Eine dieser Eigenschaften ist der Funktionswert an der Stelle 1, siehe §7.6..

3.2.4. Γ̄^{0}(5)

Zum Schluß dieses Abschnitts gebe ich vier Fundamentalbereiche von Γ̄^{0}(5) sowie die Wachstumsfunktionen der zugehörigen Pflasterungen an.

Der Standardfundamentalbereich besteht aus fünf nebeneinanderliegenden Grundbausteinen von −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i bis \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i und einem sechsten Grundbaustein unter dem linken Grundbaustein von −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i bis \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.

Figure^{1 2  ^{3}  ^{5} ^{6}^{7} 8^{4}^{1}^{2}  ^{2}^{1}^{8}^{7}^{6}^{5}^{3}  ^{8} ^{7} ^{6} ^{5}^{3}^{4}^{2}^{1}^{8}^{6} ^{7}^{3}^{2}^{1}^{3} ^{4} ^{5}  ^{2}^{1} ^{4}^{3}  ^{8} ^{2}^{1}^{3}^{8}^{7}^{6}^{9}  ^{9}^{8}^{9}^{8} ^{4}^{2}^{1}}

Für jedes Polygon der ersten Schale wird wieder ein eigener Typ definiert, dies sind insgesamt 8 Typen. Ferner wird noch Typ 9, ein Kanten- bzw. Doppelkantenpolygon, definiert. Im Bild auf der nächsten Seite habe ich den Fundamentalbereich in der hyperbolischen Ebene so verschoben, daß die Polygone 3, 4, 5 und 6 in der ersten Schale besser erkannt werden können. Typ 1: In der nächsten Schale entsteht je ein Polygon vom Typ 1, 2, 3, 4 und 9. Ferner entsteht noch ein halbes Polygon vom Typ 5, welches mit einem Nachbarpolygon vom Typ 2 geteilt wird. Typ 2: Es entstehen je einmal Typ 1, 2, 6, 7, 8 und einmal ein halbes Polygon vom Typ 5 (siehe Typ 1). Typ 1 und Typ 2 sind immer benachbart und könnten zu einem Block zusammengefaßt werden. Typ 3: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 3 bis 8.

Typ 4: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 1 bis 4 sowie ein Polygon vom Typ 9. Das Polygon vom Typ 9 ist manchmal ein Doppelkantenpolygon, aber nicht immer (genau genommen müßten zwei verschiedene Typen definiert werden). Daher wird so gerechnet, als ob es nicht aus einem Polygon vom Typ 5 entstehen würde. Typ 5: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 1, 2, 3 und 8. Es soll kein Polygon vom Typ 9 entstehen (siehe Typ 4). Typ 6: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 1, 2, 3 und ein halbes Polygon vom Typ 6. Typ 7: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 1, 2, 7, 8 und ein halbes Polygon vom Typ 6. Typ 8: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 3 bis 8 (wie Typ 3). Typ 9: Es entsteht je ein Polygon vom Typ 8, 1 und 2. Ein Polygon vom Typ 9 soll nicht entstehen.

Figure^{^{2} ^{1}  ^{8} ^{7}  ^{6} 5^{4}^{3}^{3}^{5}^{6}^{7}^{8}^{1} ^{2} ^{3}  ^{1}  ^{2}  ^{3}^{2}^{4}  ^{4}  ^{1}^{6}  ^{3}^{8}^{9}^{2}^{8}^{9}^{3} ^{4}  ^{1}}

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Als Wachstumsfunktion ergibt sich:

f_{Γ̄^{0}(5)}(x) = −1 + 2\frac{1 − 2x^{2} + x^{3}}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}}

= \frac{(1 + x)(1 + 3x − x^{2} − x^{3})}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 4x + 2x^{2} − 2x^{3} − x^{4}}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}}

= 1 + 8x + 40x^{2} + 202x^{3} + 1014x^{4} + 5100x^{5} + 25636x^{6} + ….

Figure Vom Standardfundamentalbereich von Γ̄^{0}(5) entferne ich jetzt rechts zwei Grundbausteine und setze sie links wieder an. Es entsteht ein spiegelsymmetrisches Sechseck mit den Winkeln 0^{∘}, 120^{∘}, 60^{∘}, 0^{∘}, 60^{∘} und 120^{∘} an den Ecken 0, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, ∞, −\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i und −\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i. Da das Sechseck symmetrisch ist, habe ich es im mittleren der drei rechten Bilder so in der hyperbolischen Ebene plaziert, daß eine Hälfte besonders gut zu erkennen ist. In diesem Bild fällt eine Zickzacklinie durch den Ursprung auf, bestehend aus Kanten an 120^{∘}- und 60^{∘}-Winkeln. Sie brachte mich auf die Idee, die 60^{∘}- und 120^{∘}-Winkel in rechte Winkel abzuändern.

Figure  Figure

Figure Ich erhielt dann ein Sechseck mit den Eckpunkten 0, \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}i, \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i, ∞, −\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i und −\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}i sowie den Winkeln 0^{∘}, 90^{∘}, 90^{∘}, 0^{∘}, 90^{∘} und 90^{∘}. Im Folgenden nenne ich die Pflasterung mit diesem Sechseck (2, 2, ∞, 2, 2, ∞). Wegen der Symmetrie habe ich das Sechseck wieder so verschoben, daß das Geschehen auf einer Sechseckseite gut zu erkennen ist (siehe das Bild auf der folgenden Seite). Da das Sechseck nun zwei Symmetrieachsen hat, ist die Wachstumsfunktion viel einfacher zu bestimmen. Es gibt zwei Typen von Sechsecken: Sechsecke vom Typ 1 haben mit einer 90^{∘}-Ecke Kontakt zur vorigen Schale und Sechsecke vom Typ 2 haben mit zwei 90^{∘}-Ecken Kontakt zur vorigen Schale.

Figure  2^{2}_{2}  1_{1}_{1}  _{1} _{2} ^{1} 1^{1}^{1}  ^{2} ^{1} 1 1 1  _{1} _{1}_{1}_{2}^{1} 1 ^{1} ^{1}^{1}^{2}^{1}  11^{1} ^{1}_{1}^{1}  _{1} ^{1}^{1}  ^{1}^{1}  A := ( \begin{matrix}5 & 4 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}8 \\ 2 \end{matrix} ) .

\begin{aligned}f_{(2,2,∞,2,2,∞)}(x) & = −1 + 2\frac{1 − x}{1 − 6x + x^{2}} = \frac{1 + 4x − x^{2}}{1 − 6x + x^{2}} \\ & = 1 + 10x + 58x^{2} + 338x^{3} + 1970x^{4} + …. \end{aligned}

Den Fundamentalbereich, der entsteht, wenn vom Standardfundamentalbereich rechts nur ein Grundbaustein entfernt wird und links wieder angesetzt wird, brauche ich nicht detaillierter zu betrachten: Durch eine leichte Modifikation läßt er sich in ein (2, 2, 2, ∞, 2, ∞)-Sechseck umwandeln, welches zwar nicht gleich dem (2, 2, ∞, 2, 2, ∞)- Sechseck ist, dessen Pflasterung aber dieselbe Wachstumsfunktion hat.

Nun entferne ich vom Standardfundamentalbereich links einen halben Grundbaustein und klebe ihn rechts an. Es entsteht ein Sechseck mit den Ecken 0, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, 5 und ∞.

Figure

Figure^{^{2} 3 ^{1}  ^{1} 3 ^{2}}

Aufgrund der Spiegelsymmetrie habe ich das Sechseck wieder ein wenig verschoben und in der einen Hälfte die Typennummern eingetragen.

Figure^{^{1}2 ^{1} 3  ^{1}^{3}^{1}^{1}  ^{2}^{3}^{2}^{2} ^{3}^{1}^{2}  ^{1}^{3}}

Typ 1: hat eine ∞-∞-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam Typ 2: hat nur eine ∞-120^{∘}-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam Typ 3: hat eine 120^{∘}-120^{∘}-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam und evtl. noch eine ∞-120^{∘}-Kante. Man könnte Typ 2 und Typ 3 auch zusammen als einen Block betrachten: Zeilenvektor, Wachstumsmatrix und Schalenvektor würden dann (1 2), (_{2}^{1} _{1}^{4}) und (_{2}^{2}) lauten.

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1/2 & 1/2 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ) .

Ich nenne diese Pflasterung (3/2, 3/2, 3/2, ∞, ∞, ∞)′ anstatt (3/2, 3/2, 3/2, ∞, ∞, ∞), um anzudeuten, daß nicht durch Spiegelungen gepflastert wird.

f_{(3/2,3/2,3/2,∞,∞,∞)′}(x) = −\frac{3}{7} + \frac{2}{7} · \frac{5 + 11x}{1 − 2x − 7x^{2}} = \frac{(1 + x)(1 + 3x)}{1 − 2x − 7x^{2}}

= \frac{1 + 4x + 3x^{2}}{1 − 2x − 7x^{2}}

= 1 + 6x + 22x^{2} + 86x^{3} + 326x^{4} + 1254x^{5} + ….

Zum Schluß noch ein sehr einfacher Fundamentalbereich von Γ̄^{0}(5): ein ideales Viereck.

Figure  ^{2 6  ^{4} 3^{1} 5^{1}}

Figure_{1 2_{6} 3 4 5} Es läßt sich wie folgt aus dem Standardfundamentalbereich F herstellen: Die sechs Grundbausteine von F seien wie im Bild rechts durchnumeriert, die Kantenverklebungen sind durch die roten Kurven angegeben. Zuerst wird Grundbaustein 5 unter Baustein 2 geklebt. Anschließend wird die rechte Hälfte von 3 unter die linke Hälfte von 3 gedreht. Dabei dreht sich Baustein 4 mit. Die ehemals rechte Hälfte von 4 wird nun unter seine ehemals linke Hälfte gedreht und hat dadurch auch Kontakt mit 5 bekommen. Abschließend wird die linke Hälfte von 1 an 5 und die linke Hälfte von 6 an die andere Seite von 6 geklebt. Fertig ist der ideale Fundamentalbereich von Γ̄^{0}(5) mit den Ecken 0, 1, 2 und ∞. Den Verklebungen entsprechen übrigens folgende Isometrien aus PSL_{2}(ℤ): (_{1}^{1} _{1}^{0}) klebt die 0-∞-Kante an die 0-1-Kante, (_{2}^{3} _{−3}^{−5}) klebt durch eine 180^{∘}-Drehung um \frac{3}{2} + \frac{i}{2} die 1-2-Kante an sich, und (_{1}^{2} _{−2}^{−5}) verklebt durch eine 180^{∘}-Drehung um 1+i die 2-∞-Kante mit sich selbst.

f_{(∞,∞,∞,∞)}(x) = −\frac{1}{3} + \frac{4}{3} · \frac{1}{1 − 3x} = \frac{1 + x}{1 − 3x} = 1 + 4x + 12x^{2} + 36x^{3} + 108x^{4} + ….

Kapitel 4: Dreidimensionale Pflasterungen

In diesem Kapitel stelle ich einige 3-dimensionale Pflasterungen und die Berechnung ihrer Wachstumsfunktionen vor.

§4.1. Euklidische Würfelpflasterung

Figure α Ich beginne bei der euklidischen Würfelpflasterung. Würfelpflasterungen sind beispielsweise in Lagerhallen zu finden, wo würfelförmige Kartons Fläche an Fläche gestapelt sind. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und sechs Seiten. An jeder Kante treffen zwei Seitenflächen in einem Winkel von α = 90^{∘} zusammen. Dieser Winkel α heißt Kantenwinkel (dihedral angle, siehe [NotKnot], [Ratcliffe]). Einen euklidischen Würfel nenne ich wegen seines Kantenwinkels auch 90^{∘}-Würfel. Aufgrund des Kantenwinkels von 90^{∘} befinden sich in der Würfelpflasterung an einer Kante genau 360^{∘}/90^{∘} = 4 Würfel.

Im rechten Bild ist die erste Schale solch einer 90^{∘}-Würfelpflasterung in perspektivischer Darstellung zu sehen. Der Betrachter befindet sich dabei in der Pflasterung vor dem Grundwürfel. Es werden drei Typen von Würfeln unterschieden: Typ 1 ist ein Flächenwürfel, der eine ganze Fläche mit der vorigen Schale gemeinsam hat, Typ 2 hat nur eine Kante mit der vorigen Schale gemeinsam, und Typ 3 hat nur eine Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam.

Figure

Figure  ^{1^{1}}  Figure  ^{2^{1}^{1}^{2}}  Figure ^{^{1} ^{1}^{3} ^{2}^{2}^{2} ^{1}} Figure 3 Figure

§4.1. Euklidische Würfelpflasterung 69

Die erste Schale besteht aus sechs Flächenwürfeln (an jeder Seite des Ausgangswürfels einer), 12 Kantenwürfeln und 8 Eckwürfeln. Dies sind zusammen 6+12+8 = 26 Würfel und mit dem Ausgangswürfel genau 27 = 3^{3} Würfel. Die erste Schale ist konvex.

Sei P ein Würfel vom Typ 1, P hat eine ganze Fläche F mit der vorigen Schale gemeinsam. An den vier Nachbarflächen von F des Würfels P liegen die Würfel in derselben Schale wie P. An der Seite gegenüber von F befindet sich in der nächsten Schale wieder ein Würfel vom Typ 1. Sei P jetzt ein Würfel vom Typ 2, P hat eine Kante K mit der vorigen Schale gemeinsam. Hinter den vier Nachbarflächen an K in P sind Nachbarwürfel derselben Schale wie P. An den zwei übrigen Flächen von P tauchen in der nächsten Schale zwei Würfel vom Typ 1 und ein Würfel vom Typ 2 auf. Sei nun P ein Eckwürfel an der Ecke E. Hinter den drei Nachbarflächen an E in P befinden sich Schalennachbarn von P. An den drei übrigen Flächen von P sind in der nächsten Schale drei Würfel vom Typ 1, drei Würfel vom Typ 2 und ein Würfel vom Typ 3. Alle Schalen sind konvex. Wachstumsmatrix, Typenvektor und die Wachstumsfunktion der 90^{∘}-Würfelpflasterung lauten:

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}6 \\ 12 \\ 8 \end{matrix} ) ,

\begin{aligned}f_{90^{∘}−cube}(x) & = −1 + \frac{2 + 20x + 26x^{2}}{1 − 3x + 3x^{2} − x^{3}} = \frac{(1 + x)(1 + 22x + x^{2})}{(1 − x)^{3}} \\ & = \frac{1 + 23x + 23x^{2} + x^{3}}{1 − 3x + 3x^{2} − x^{3}} = 1 + 26x + 98x^{2} + 218x^{3} + 386x^{4} + …. \end{aligned}

§4.2. Kompakte Dodekaeder- und Würfelpflasterungen

Entsprechend dem Geschehen bei den Polygonen (siehe Seite 10) werden die Kantenwinkel eines hyperbolischen Polyeders kleiner, wenn das Polyeder vergrößert wird. Zum Beispiel haben hyperbolische Dodekaeder mit sehr kleinem Radius wie euklidische Dodekaeder einen Kantenwinkel von ca. 116^{∘}, denn der dreidimensionale hyperbolische Raum verhält sich lokal wie der euklidische Raum. Wird der Radius vergrößert, so wird der Kantenwinkel immer kleiner und erreicht 60^{∘}, wenn der Radius ∞ ist, d.h. alle Ecken im Unendlichen sind. Eine Darstellung dieses Vorgangs im Kugelmodell (siehe unten) ist z.B. in [Ratcliffe, Fig. 7.1.3.] zu finden. Weil der Kantenwinkel stetig vom Radius abhängt, gibt es 90^{∘}-Dodekaeder und 72^{∘}-Dodekaeder. In diesem Abschnitt beschäftige ich mich zuerst mit der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung.

4.2.1. Modelle des IH^{3} Bevor ich zur 90^{∘}-Dodekaederpflasterung übergehe, noch einmal ein paar Worte zu verschieden Darstellungsweisen, diesmal des IH^{3}: Das konforme Kugelmodell stellt den hyperbolischen Raum im Innern der Einheitskugel dar. Die hyperbolischen Geraden sind entweder Kreisbögen, die senkrecht auf dem Einheitskugelrand stehen, oder euklidische Geraden durch den Einheitskugelmittelpunkt. Die hyperbolischen Ebenen haben entweder die Form von Kugelkappen, die auf dem Einheitskugelrand senkrecht stehen, oder von euklidischen Ebenen durch den Einheitskugelmittelpunkt. Die hyperbolischen Winkel stimmen mit den euklidischen Winkeln überein. Im linken Bild sind vier 90^{∘}-Dodekaeder zu sehen, die an einer Kante zusammengeklebt worden sind.

Figure  Figure

Der obere Halbraum ist ein weiteres Modell. Der hyperbolische Raum wird dabei in {(x, y, z) ∈ IR^{3} | z > 0} ≅ C × IR^{>0} eingebettet. Die hyperbolischen Geraden sind entweder Halbkreise oder euklidische Strahlen, die senkrecht auf der xy-Ebene stehen. Die hyperbolischen Ebenen haben entweder die Form von Halbkugeloberflächen oder von euklidischen Halbebenen, die auf der xy-Ebene senkrecht stehen. Das Modell ist ebenfalls konform, d.h., die hyperbolischen Winkel stimmen mit den euklidischen Winkeln überein. Im rechten Bild sind die gleichen Dodekaeder in der Halbraumdarstellung zu sehen.

§4.2. Kompakte Dodekaeder- und Würfelpflasterungen 71

Eine dritte Darstellungsart — ich nenne sie hyperbolische perspektivische Darstellung — zeigt, wie der hyperbolische Raum von innen aussieht, d.h., wie ihn Betrachter im hyperbolischen Raum sehen. Die Darstellung wird wie folgt erzeugt: Ich plaziere eine Kamera (den Betrachter) im Einheitskugelmittelpunkt des konformen Kreismodells. Vom Mittelpunkt aus sehen die hyperbolischen Geraden aus wie euklidische Geraden, da sie Kreisbögen sind, die auf dem Einheitskugelrand senkrecht stehen und damit in einer euklidischen Ebene durch den Mittelpunkt liegen. Siehe auch [NotKnot] und [Thurston, 2.3.]. Es folgen die vier Dodekaeder in hyperbolischer perspektivischer Darstellung:

Figure  Figure

Im euklidischen Raum ist es nicht möglich (bei einem Blickfeld von weniger als 180^{∘}), eine ganze Ebene zu sehen. Man sieht immer nur einen Ausschnitt (siehe z.B. das Bild auf S. 49). Im hyperbolischen Raum ist das anders: Bei genügend großem Abstand von einer Ebene ist diese vollständig zu überblicken und erscheint kreisförmig. Zur Illustration habe ich 90^{∘}-Dodekaeder genommen (1+10+40 Stück) und auf einer ebenen Pflasterung von rechtwinkligen Fünfecken plaziert. Rechts ist die ganze hyperbolische Ebene von unten zu sehen. Gegenstände werden in der Ferne exponentiell kleiner.

4.2.2. 90^{∘}-Dodekaederpflasterung Die 90^{∘}-Dodekaederpflasterung hat viele Gemeinsamkeiten mit der 90^{∘}-Würfelpflaste-rung. So treffen sich z.B. wie in der 90^{∘}-Würfelpflasterung bei der 90^{∘}-Dodekaederpfla-sterung in jeder Ecke genau drei Geraden, die paarweise senkrecht aufeinander stehen (wie das xyz-Standardkoordinatensystem im Ursprung). Eine andere Gemeinsamkeit sind die Typen: Auch bei der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung gibt es Flächendodekaeder (Typ 1), Kantendodekaeder (Typ 2) und Eckdodekaeder (Typ 3). In den folgenden beiden Bildern ist die erste Schale dargestellt:

Figure  Figure

Figure Typ 1: Ein Dodekaeder P vom Typ 1 hat eine Fläche F mit der vorigen Schale gemeinsam. Hinter den fünf Nachbarflächen von F sind Dodekaeder derselben Schale wie P. Die sechs (5 + 1) restlichen Seitenflächen sind Grundflächen von Dodekaedern der nächsten Schale. Figure Typ 2: Ein Dodekaeder P vom Typ 2 hat nur eine Kante K mit der vorigen Schale gemeinsam. Hinter den vier Nachbarflächen von K befinden sich Dodekaeder derselben Schale wie P. Die acht (6 + 2) restlichen Seitenflächen sind Grundflächen von Dodekaedern der nächsten Schale. Figure Typ 3: Ein Eckdodekaeder hat nur eine Ecke E mit der vorigen Schale gemeinsam. Hinter den drei Nachbarflächen von E befinden sich Dodekaeder derselben Schale, die neun (6 + 3) übrigen Seitenflächen sind Grundflächen von Dodekaedern der nächsten Schale.

Wie ist die erste Schale aufgebaut? Ein Dodekaeder besitzt 12 Fünfecke als Seitenflächen (daher der Name), 30 Kanten und 20 Ecken. Wie beim Würfel befindet sich an jeder Seitenfläche in der nächsten Schale genau ein Dodekaeder vom Typ 1, an jeder Kante befindet sich genau ein Dodekaeder vom Typ 2 und an jeder Ecke befindet sich genau ein Dodekaeder vom Typ 3. Damit sind insgesamt 12 + 30 + 20 = 62 Dodekaeder in der ersten Schale. Die erste Schale ist konvex.

Auf dieser Seite beschreibe ich das Schalenwachstum der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung. Dazu gebe ich an, was an den drei Typen jeweils in der nächsten Schale geschieht. Typ 1: P sei ein Flächendodekaeder. P hat sechs Flächen zur nächsten Schale, dort entstehen aus P genau 6 Flächendodekaeder. Ferner hat P genau 5 + 5 = 10 Kanten, an denen in der nächsten Schale jeweils ein Kantendodekaeder entsteht. Diese 10 Kantendodekaeder kommen ganz klar nur aus P, daher sind keine \frac{1}{2}-Faktoren in der Wachstumsmatrix nötig. Ferner hat P genau 5 Ecken, an denen in der nächsten Schale jeweils ein Eckdodekaeder entsteht. In den Bildern habe ich Flächen-, Kanten- und Eckdodekaeder der nächsten Schale mit verschiedenen Farben versehen. Figure Typ 2: P sei jetzt ein Kantendodekaeder. An jeder der 8 Flächen zur nächsten Schale befindet sich in der nächsten Schale ein Flächendodekaeder. An genau 6+9 = 15 Kanten von P entsteht in der nächsten Schale ein Kantendodekaeder und an genau acht Ecken ist in der nächsten Schale ein Eckdodekaeder. Typ 3: P sei nun ein Eckdodekaeder. An 9 Flächen ist in der nächsten Schale ein Flächendodekaeder, an 6 + 12 = 18 Kanten befindet sich in der nächsten Schale ein Kantendodekaeder und an 10 Ecken ist in der nächsten Schale ein Eckdodekaeder.

Figure  Figure

Alle Schalen sind konvex.

A := ( \begin{matrix}6 & 8 & 9 \\ 10 & 15 & 18 \\ 5 & 8 & 10 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}12 \\ 30 \\ 20 \end{matrix} ) .

f_{90^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + \frac{2 + 62x^{2}}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})}

= \frac{(1 + x)(1 + 30x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})}

= \frac{1 + 31x + 31x^{2} + x^{3}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

= 1 + 62x + 1 922x^{2} + 57 662x^{3} + 1 728 002x^{4} + ….

4.2.3. 72^{∘}-Würfelpflasterung Euklidische Würfel haben — wie bereits erwähnt wurde — einen Kantenwinkel von 90^{∘}. Daher haben hyperbolische Würfel mit sehr kleinem Radius einen Kantenwinkel von (90 − ε)^{∘} bei sehr kleinem ε > 0. Wird der Würfelradius bis ins Unendliche vergrößert, so sind die Würfelecken im Unendlichen (im Kugelmodell dann auf dem Einheitskugelrand), und der Würfel hat einen Kantenwinkel von 60^{∘} (siehe Abschnitt 4.4.). Kompakte hyperbolische Würfel haben daher einen Kantenwinkel im offenen Intervall ]60^{∘}, 90^{∘}[. Werden Würfel seitenweise verklebt, so daß sie den Raum pflastern, muß der Kantenwinkel ein ganzzahliger Teiler von 360^{∘} sein, da aufgrund der Symmetrie eines Würfels alle Kantenwinkel gleich sind. Die einzige hyperbolische Würfelpflasterung mit kompakten Würfeln ist somit eine 72^{∘}-Würfelpflasterung.

Figure  Figure

Da 72^{∘}-Würfel(pflasterungen) recht selten in freier Natur auftauchen, gebe ich im Folgenden ein paar Eigenschaften an:

• Jede Kante der Pflasterung gehört zu genau fünf Würfeln (siehe z.B. die mittlere senkrechte schwarze Kante im rechten Bild).

• An jeder Ecke der Pflasterung treffen sich genau 12 Kanten. Diese Kanten sind in Ikosaeder- bzw. Dodekaedersymmetrie angeordnet, d.h., die 12 Kanten sind wie die Ecken eines Ikosaeders bzw. die Flächen eines Dodekaeders angeordnet.

• Jede Ecke der Pflasterung ist Ecke von 20 Würfeln. Wo kommt die Dodekaedersymmetrie her? Ganz einfach: Die 72^{∘}-Würfelpflasterung und die eben betrachtete 90^{∘}-Dodekaederpflasterung sind dual zueinander, d.h., die Ecken, Kanten, Seitenflächen (Quadrate) und Würfel der 72^{∘}-Würfelpflasterung entsprechen den Dodekaedern, Fünfecken, Kanten und Ecken der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung. Diese Dualität wird im Folgenden sehr hilfreich bei der Berechnung der Wachstumsfunktion der 72^{∘}-Würfelpflasterung sein.

4.2.4. Dualität

72^{∘}-Würfelpflasterung  90^{∘}-Dodekaederpflasterung
Ecken  ⟷  Dodekaeder
Kanten  ⟷  Fünfecke
Quadrate  ⟷  Kanten
Würfel  ⟷  Ecken

Jeder Würfel der Würfelpflasterung entspricht also einer Ecke in der Dodekaederpflasterung. Wie lassen sich Nachbarschaftsverhältnisse von Würfeln in der dualen Dodekaederpflasterung erkennen?

• Zwei Würfel in der 72^{∘}-Würfelpflasterung haben zwei Seitenflächen gemeinsam, wenn die beiden entsprechenden Ecken in der Dodekaederpflasterung durch eine Kante verbunden sind.

• Zwei Würfel haben eine Kante gemeinsam, wenn die beiden entsprechenden Ecken in der Dodekaederpflasterung in einem Fünfeck liegen.

• Zwei Würfel haben eine Ecke gemeinsam, wenn die beiden entsprechenden Ecken in der Dodekaederpflasterung Ecken desselben Dodekaeders sind.

In den folgenden zwei Bildern habe ich die dualen Kanten schwarz eingezeichnet und die dualen Ecken mit dicken Punkten markiert. Den Ausgangswürfel habe ich braun eingezeichnet.

Figure  Figure

Da zwei Würfel benachbart sind, wenn sie mindestens eine Ecke gemeinsam haben, sind zwei Ecken in der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung benachbart, wenn sie im selben Dodekaeder liegen. Definiere ich eine Ecke der Dodekaederpflasterung als Ausgangsecke F, so kann ich Eckenschalen definieren, ihre Wachstumsfunktion bestimmen und erhalte damit auch die Wachstumsfunktion der Würfelpflasterung.

Bevor ich zu den Eckenschalen komme, stelle ich auf der nächsten Seite eine weitere Wachstumsfunktion der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung vor.

4.2.5. 90^{∘}-Dodekaederpflasterung mit achtelementiger 0-ter Schale Sei E eine Ecke in der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung (da alle Ecken gleich sind, ist die Wahl egal). E ist die Ecke von genau acht Dodekaedern. Diese acht Dodekaeder definiere ich als die nullte Schale, bei allen acht Dodekaedern handelt es sich um Eckdodekaeder (Typ 3) (es gibt allerdings keine vorige Schale, nur die Ecke E, aber das ist nicht schlimm). Wie lautet die Wachstumsfunktion der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung, wenn ich nicht mit einem Dodekaeder, sondern mit diesen acht Dodekaedern in der nullten Schale starte? Die drei Dodekaedertypen und die Wachstumsmatrix sind geblieben. Die Wachstumsmatrix und der Typenvektor der nullten Schale (nicht der ersten!) lauten daher:

A := ( \begin{matrix}6 & 8 & 9 \\ 10 & 15 & 18 \\ 5 & 8 & 10 \end{matrix} ) , v_{0} := ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsfunktion lautet:

f_{(0,0,8)−90^{∘}−dodecahedron}(x) = ∑_{i=0}^{∞}(1, 1, 1) · A^{i} · v_{0} x^{i} = (1, 1, 1) · (1 − Ax)^{−1} · v_{0}

= 8\frac{1 + 6x + x^{2}}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})} = \frac{8 + 48x + 8x^{2}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

= 8 + 296x + 8 936x^{2} + 267 848x^{3} + ….

Bemerkenswert ist, daß diese Wachstumsfunktion — bis auf den Faktor 8 — den gleichen Zähler hat wie die Wachstumsfunktion der Quadratpflasterung auf Seite 3.

4.2.6. Eckenwachstum der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung E sei weiterhin eine Ecke der 90^{∘}-Dodekaederpflasterung. Zu E benachbart sind alle Ecken, die zusammen mit E Ecke desselben Dodekaeders sind. Dies sind genau die Ecken der acht Dodekaeder der 0-ten Schale, außer E selbst. Damit ist die erste Eckenschale genau die Menge der Ecken an der Oberfläche der nullten Schale der auf der vorigen Seite betrachteten (0, 0, 8)-90^{∘}-Dodekaederpflasterung. Ebenso ist die zweite Eckenschale genau die Menge der Ecken an der Oberfläche der ersten Dodekaederschale, denn die Dodekaeder der ersten Dodekaederschale sind genau die Dodekaeder, in denen sich Ecken befinden, die auf der Oberfläche der nullten Dodekaederschale sind. Allgemein sind die Ecken der n+1-ten Eckenschale genau die Ecken der Oberfläche der n-ten Dodekaederschale.

Nun bestimme ich die Anzahl der Ecken auf der Oberfläche der n-ten Dodekaederschale. Die Anzahl der einzelnen Dodekaedertypen in der n-ten Schale ist bekannt, nämlich v_{n} = A^{n} · v_{0}. Ich werde im Folgenden einen Zeilenvektor S bestimmen, der aus einem Typvektor v_{n}, welcher die Anzahl von Dodekaedern in der n-ten Schale nach Typen sortiert angibt, die Anzahl von Ecken an der Schalenoberfläche liefert. Figure Typ 1: Ein Dodekaeder vom Typ 1 hat an seiner Oberfläche genau 5 + 5 + 5 Ecken. Davon teilt er sich fünf mit genau einem Nachbardodekaeder und weitere fünf mit jeweils drei anderen Nachbardodekaedern. Insgesamt hat er daher 5 + \frac{1}{2} · 5 + \frac{1}{4} · 5 Ecken an der Schalenoberfläche. Figure Typ 2: Ein Dodekaeder vom Typ 2 hat an seiner Oberfläche zur nächsten Schale genau 8 + 6 + 4 Ecken, davon teilt er sich 6 Ecken mit einem Nachbardodekaeder und 4 Ecken mit 3 Nachbardodekaedern derselben Schale. Insgesamt sind dies 8 + \frac{1}{2} · 6 + \frac{1}{4} · 4 Ecken. Figure Typ 3: Ein Eckdodekaeder hat an der Schalenoberfläche genau 9+6+3 Ecken, davon teilt er sich 6 mit jeweils einem Nachbardodekaeder und drei Ecken mit jeweils 3 Nachbardodekaedern. Insgesamt sind dies daher 10 + \frac{1}{2} · 6 + \frac{1}{4} · 3 Ecken.

Es ergibt sich daher S und mit A und v_{0} von der (0, 0, 8)-90^{∘}-Dodekaederpflasterung der vorigen Seite auch die Wachstumsfunktion der Eckenschalen bzw. der 72^{∘}-Würfel-pflasterung:

S = ( 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{4} 8 + \frac{6}{2} + \frac{4}{4} 10 + \frac{6}{2} + \frac{3}{4} ) ,
f_{72^{∘}−cube}(x) = 1 + S(1 − Ax)^{−1}v_{0}x = −1 + 2\frac{1 + 24x + 55x^{2}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

= \frac{(1 + x)(1 + 78x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})} = \frac{1 + 79x + 79x^{2} + x^{3}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

= 1 + 110x + 3 458x^{2} + 103 790x^{3} + ….

4.2.7. 72^{∘}-Dodekaederpflasterung Bei der 72^{∘}-Dodekaederpflasterung treffen sich an jeder Kante genau fünf Dodekaeder. Die Pflasterung ist selbstdual, d.h., wie die 90^{∘}-Würfelpflasterung ist diese Pflasterung gleich ihrer dualen Pflasterung. An jeder Ecke treffen sich genau 20 Dodekaeder, welche in Dodekaedersymmetrie angeordnet sind (vgl. mit der 72^{∘}-Würfelpflasterung).

Ich unterscheide wieder die drei Typen Flächendodekaeder (Typ 1), Kantendodekaeder (Typ 2) und Eckdodekaeder (Typ 3). Die erste Schale besteht aus 12 Flächendodekaedern, 30 · 2 = 60 Kantendodekaedern (an jeder Kante 2 = 5 − 3 Stück) und 20 · 10 = 200 Eckdodekaedern (an jeder Ecke 1 + 3 + 6). Insgesamt sind dies 12 + 60 + 200 = 272.

Figure  Figure

Figure Typ 1: Ein Dodekaeder vom Typ 1 besteht an der Schalenoberfläche aus sechs Fünfecken, die von insgesamt zehn Kanten begrenzt werden. Im Inneren des von den zehn Kanten begrenzten Bereichs gibt es sechs Fünfecke, zehn Kanten und fünf Ecken. Es entstehen dort in der nächsten Schale 6 · 1 Flächendodekaeder, 10 · 2 Kantendodekaeder und 5 · (1 + 3 + 6) Eckdodekaeder. An den zehn Kanten am Rand entstehen ebenfalls Dodekaeder, die aber je nach Lage mit einem bzw. vier Nachbardodekaedern geteilt werden, daher sind je nach Lage die Faktoren \frac{1}{2} bzw. \frac{1}{5} nötig. Im einzelnen entstehen an den zehn Kanten je \frac{1}{2} Kantendodekaeder, an den fünf mittleren Ecken je \frac{1}{2} ·(20−2−4−6) Eckdodekaeder und an den fünf äußeren Ecken je \frac{1}{5} · (20 − 5 − 5 − 5) Eckdodekaeder. Figure Typ 2: Ein Kantendodekaeder besteht an der Schalenoberfläche aus acht Fünfecken, die am Rand wieder von zehn Kanten begrenzt sind. Im Inneren entstehen in der nächsten Schale 8 · 1 Flächendodekaeder, 15 · 2 Kantendodekaeder und 8 · (1 + 3 + 6) Eckdodekaeder. An den zehn Kanten entstehen in der nächsten Schale 10 · \frac{1}{2} Kantendodekaeder, 6 · \frac{1}{2}(20 − 2 − 4 − 6) und 4 · \frac{1}{5}(20 − 5 − 5 − 5) Eckdodekaeder (siehe auch das linke Bild auf der folgenden Seite).

Figure Typ 3: Ein Eckdodekaeder besteht an der Schalenoberfläche aus neun Fünfecken, die von neun Kanten begrenzt werden. An den neun Fünfecken (ohne die neun Kanten) entstehen in der nächsten Schale 9 · 1 Flächendodekaeder, 18·2 Kantendodekaeder und 10·(1+3+6) Eckdodekaeder. An den neun Kanten entstehen 9 · \frac{1}{2} Kantendodekaeder sowie 6 · \frac{1}{2}(20 − 2 − 4 − 6) und 3 · \frac{1}{5}(20 − 5 − 5 − 5) Eckdodekaeder.

Figure  Figure

An der Außenfläche der ersten Schale treffen sich an einer Kante immer höchstens ein oder zwei Dodekaeder. Wegen des Kantenwinkels von 72^{∘} kann eine Kante der Schalenaußenfläche nur 72^{∘} oder 144^{∘} aufweisen. Dies gilt induktiv auch für alle weiteren Schalen. Alle Schalenoberflächen sind daher konvex. Im Bild rechts ist eine Ecke der Außenfläche der ersten Schale gezeigt, an der sich fünf Kanten (bzw. Dodekaeder) treffen.

Figure

A := ( \begin{matrix}6 & 8 & 9 \\ 20 + 5 & 30 + 5 & 36 + 9/2 \\ 50 + 20 + 5 & 80 + 24 + 4 & 100 + 24 + 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 & 8 & 9 \\ 25 & 35 & 81/2 \\ 75 & 108 & 127 \end{matrix} ) ,

v_{1} := ( \begin{matrix}12 \\ 60 \\ 200 \end{matrix} ) ,

f_{72^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + 2\frac{1 − 32x + 136x^{2}}{1 − 168x + 168x^{2} − x^{3}}

= \frac{(1 + x)(1 + 103x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 167x + x^{2})} = \frac{1 + 104x + 104x^{2} + x^{3}}{1 − 168x + 168x^{2} − x^{3}}

= 1 + 272x + 45 632x^{2} + 7 620 482x^{3} + ….

Im Bild oben rechts sind die Dodekaedermittelpunkte der zweiten Schale markiert und Dodekaeder, die dort eine Fläche gemeinsam haben, sind durch eine Kante verbunden.

§4.3. Pflasternde Fußbälle

Zitat aus [Beutelspacher]: Auch ein so alltäglicher Gegenstand wie der Fußball stellt sich bei näherer Betrachtung als sehr interessantes Objekt voller Geheimnisse heraus. Wenn man diesen Geheimnissen auf die Spur kommen möchte, muß man den Fußball ”nur“ richtig anschauen. Dann wird alles ganz einfach! Was ist ein Fußball? Schon Alt-Bundestrainer Sepp Herberger wußte: ”Der Ball ist rund“. Ist das wahr?

Im hyperbolischen Raum ist dies bestimmt nicht wahr, denn dort gibt es Fußbälle, die an jeder Kante einen Kantenwinkel von 90^{∘} aufweisen und damit so ”rund“ sind wie ein Würfel! Von solch einem 90^{∘}-Fußball handelt dieser Abschnitt, denn er hat die schöne Eigenschaft, daß er den hyperbolischen Raum pflastert. Eine weniger schöne Eigenschaft des hier betrachteten Fußballs ist, daß seine Sechsecke nicht regelmäßig sind :-( Ein Fußball besteht aus 12 Fünfecken (gewöhnlich schwarz) und 20 Sechsecken (gewöhnlich weiß). Es gibt zwei Arten von Kanten: 60 Fünfeck-Sechseck-Kanten und 30 Sechseck-Sechseck-Kanten. Die Symmetriegruppe des Fußballs operiert transitiv auf den 60 Ecken.

Figure  Figure

Figure Typ 1: Ein Fußball vom Typ 1 ist ein Flächenfußball, der eine Fünfeckseite mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden 11 Fünfecke und 15 Sechsecke. Dazwischen befinden sich 45 Fünfeck-Sechseck-Kanten, 30 − 10 = 20 Sechseck-Sechseck-Kanten und 60 − 5 − 15 = 40 Ecken. Figure Typ 2: Ein Fußball vom Typ 2 ist ebenfalls ein Flächenfußball, er hat eine Sechseckseite mit der vorigen Schale gemeinsam. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden hier neun Fünfecke und 16 Sechsecke. Dazwischen befinden sich 60−15−3 = 42 Fünfeck-Sechseck-Kanten, 30 − 9 = 21 Sechseck-Sechseck-Kanten und 60 − 6 − 15 = 39 Ecken.

§4.3. Pflasternde Fußbälle 82

Figure Typ 3: Ein Fußball vom Typ 3 ist ein Kantenfußball, der nur eine Fünfeck-Sechseck-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden 11 Fünfecke und 17 Sechsecke. Dazwischen befinden sich 60 − 11 = 49 Fünfeck-Sechseck-Kanten, 30 − 7 = 23 Sechseck-Sechseck-Kanten, 60 − 2 − 13 = 45 Ecken. Figure Typ 4: Ein Fußball vom Typ 4 ist ein Kantenfußball, der nur eine Sechseck-Sechseck-Kante mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden 10 Fünfecke und 18 Sechsecke. Dazwischen befinden sich 60 − 12 = 48 Fünfeck-Sechseck-Kanten, 30 − 5 = 25 Sechseck-Sechseck-Kanten, 60 − 14 = 46 Ecken. Figure Typ 5: Ein Fußball vom Typ 5 ist ein Eckfußball (kurz: Eckball), der nur eine Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam hat. Den Kontakt zur nächsten Schale bilden 11 Fünfecke und 18 Sechsecke. Dazwischen befinden sich 60−9 = 51 Fünfeck-Sechseck-Kanten, 30−5 = 25 Sechseck-Sechseck-Kanten, 60 − 1 − 11 = 48 Ecken. Das Wachstum ist wegen der 90^{∘}-Kantenwinkel ganz ähnlich dem Wachstum der 90^{∘}- Dodekaederschalen: An einem Fünfeck entsteht ein Typ 1, an einem Sechseck entsteht ein Typ 2, an einer 56-Kante entsteht ein Typ 3, an einer 66-Kante entsteht ein Typ 4, und an einer Ecke entsteht in der nächsten Schale ein Typ 6. Die Ecken und Kanten am Rand der Kontaktfläche zur nächsten Schale sind nicht berücktsichtigt worden, da dort keine Kantenbälle oder Eckbälle vorkommen.

A := ( \begin{matrix}11 & 9 & 11 & 10 & 11 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 18 \\ 45 & 42 & 49 & 48 & 51 \\ 20 & 21 & 23 & 25 & 25 \\ 40 & 39 & 45 & 46 & 48 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}12 \\ 20 \\ 60 \\ 30 \\ 60 \end{matrix} )

f_{90^{∘}−buckyball}(x) = −1 + 2\frac{1 − 58x + 276x^{2} − 358x^{3} + 91x^{4}}{1 − 149x + 634x^{2} − 634x^{3} + 149x^{4} − x^{5}}

= \frac{(1 + x)(1 + 32x − 114x^{2} + 32x^{3} + x^{4})}{(1 − x)(1 − 148x + 486x^{2} − 148x^{3} + x^{4})}

= \frac{1 + 33x − 82x^{2} − 82x^{3} + 33x^{4} + x^{5}}{1 − 149x + 634x^{2} − 634x^{3} + 149x^{4} − x^{5}}

= 1 + 182x + 26 402x^{2} + 3 819 062x^{3} + …

Es gibt auch andere pflasternde Fußbälle, zum Beispiel einen Fußball mit dem Kantenwinkel 90^{∘} an den 56-Kanten und 72^{∘} an den 66-Kanten (siehe rechts) und einen Fußball mit 60^{∘} an den 56-Kanten und 90^{∘} an den 66-Kanten.

Einen streng mathematischen Existenzbeweis der 90^{∘}-Fuß-ballpflasterungen und der im vorigen Abschnitt erwähnten Pflasterungen besitze ich zur Zeit leider nicht.

Figure

§4.4. Nichtkompakte Polyeder 83

§4.4. Nichtkompakte Polyeder

In diesem Abschnitt betrachte ich fünf Pflasterungen von nichtkompakten Polyedern. Gepflastert werden u.a. 60^{∘}-Würfel, 60^{∘}-Dodekaeder, 60^{∘}-Tetraeder und 90^{∘}-Oktaeder. Diese vier Polyeder sind ideal, weil sich alle Ecken im Unendlichen befinden.

4.4.1. 60^{∘}-Würfel

Weil sich alle Ecken eines 60^{∘}-Würfels im Unendlichen befinden, gibt es in der zugehörigen Pflasterung keine Würfel, die nur eine Ecke mit der vorigen Schale gemeinsam haben. Daher existieren keine Eckwürfel, sondern nur Flächenwürfel (Typ 1) und Kantenwürfel. Das Fehlen von Ecken hat darüber hinaus zur Folge, daß ich bei der 60^{∘}-Würfelpflasterung drei verschiedene Arten von Kantenwürfeln unterscheide: Kantenwürfel, die in derselben Schale mit zwei Flächenwürfeln eine Seite gemeinsam haben (Typ 2), Kantenwürfel, die in derselben Schale mit einem Flächenwürfel und einem Kantenwürfel jeweils eine Seite gemeinsam haben (Typ 3) und Kantenwürfel, die in derselben Schale nur mit zwei Kantenwürfeln eine Seite gemeinsam haben (Typ 4).

Figure  ^{1 1 ^{3}^{4}^{3}}  _{Figure}  ^{1 ^{3} ^{4}^{3} ^{1}}

Sei F der schwarze Ausgangswürfel. An jeder der sechs Seiten befindet sich in der ersten Schale ein Flächenwürfel. Weil alle Kanten von F einen 60^{∘}-Kantenwinkel haben, befinden sich an jeder Kante von F genau sechs Würfel, darunter F selbst und zwei Flächenwürfel. Übrig bleiben drei Kantenwürfel in der ersten Schale. Da jeder Würfel der ersten Schale eine Fläche oder Kante mit F gemeinsam hat, sind dies alle Würfel, d.h., die erste Schale besteht aus 6·1 Flächenwürfeln und 12·3 Kantenwürfeln (an jeder Kante Typ 3-Typ 4-Typ 3), insgesamt also 6 + 12 · 3 = 42 Würfeln. Figure Sei P ein Flächenwürfel. P hat mit vier Nachbarwürfeln derselben Schale eine Fläche gemeinsam. Bei diesen vier Nachbarwürfeln handelt es sich immer um Kantenwürfel (was sich aus späteren Überlegungen ergibt). P hat nur mit einer Seite und deren vier Kanten Kontakt zur nächsten Schale. An dieser Seite entsteht in der nächsten Schale ein Flächenwürfel. An jeder der vier Kanten entstehen zwei halbe Kantenwürfel vom Typ 3 (siehe das Bild unten links). Halb bedeutet, daß die an einer Kante entstehenden Kantenwürfel mit einem Nachbarwürfel geteilt werden, daher kommt ein \frac{1}{2}-Faktor in die Wachstumsmatrix. Figure Sei P nun ein Kantenwürfel vom Typ 3, d.h., P hat mit zwei Nachbarwürfeln eine Fläche gemeinsam, wobei der eine ein Flächenwürfel und der andere ein Kantenwürfel ist. P hat mit vier Seiten Kontakt zur nächsten Schale. Zwischen diesen vier Seiten sind fünf Kanten in Figure -Form. An jeder der vier Seiten entsteht in der nächsten Schale ein Flächenwürfel und an jeder der fünf Kanten entstehen drei Kantenwürfel (in der Reihenfolge Typ 3-Typ 4-Typ 3). Figure Figure Um die vier Seiten befinden sich sechs Kanten: zwei mittlere äußere Kanten

(in der linken Skizze rot) und vier äußere äußere Kanten (rechts rot). An vier der äußeren Kanten entstehen in der nächsten Schale je zwei halbe Kantenwürfel vom Typ 3. An den zwei restlichen äußeren Kanten, den beiden

äußeren äußeren Kanten am Flächenwürfel, befindet sich in der nächsten Schale jeweils ein halbes Kantenpolygon vom Typ 2.

Figure  2  _{Figure}  ^{2^{3}  2^{2} ^{2}  ^{3}^{3}^{3}}

Kantenpolygone vom Typ 2 bzw. Typ 4 verhalten sich fast genauso, Unterschiede gibt es nur an den sechs äußeren Kanten. Beim Kantenwürfel vom Typ 4 sind an jeder äußeren Kante in der nächsten Schale zwei halbe Kantenwürfel vom Typ 3. Beim Typ 2-Kanten-würfel (siehe linkes Bild) sind an den beiden mittleren äußeren Kanten in der nächsten Schale jeweils zwei halbe Kantenwürfel vom Typ 3 (siehe rechtes Bild). An den vier äußeren äußeren Kanten befindet sich je ein halber Kantenwürfel vom Typ 2.

A := ( \begin{matrix}1 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 4 · \frac{1}{2} & 2 · \frac{1}{2} & 0 \\ 4 · \frac{2}{2} & 5 · 2 + 2 · \frac{2}{2} & 5 · 2 + 4 · \frac{2}{2} & 5 · 2 + 6 · \frac{2}{2} \\ 0 & 5 & 5 & 5 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 12 & 14 & 16 \\ 0 & 5 & 5 & 5 \end{matrix} ) ,

v_{1} := ( 6 0 24 12 )^{t} .

Die Wachstumsfunktion:

\begin{aligned}f_{60^{∘}−cube}(x) & = \frac{1}{7} + \frac{6}{7} · \frac{1 + 27x}{1 − 22x + 21x^{2}} = \frac{1 + 20x + 3x^{2}}{(1 − x)(1 − 21x)} \\ & = \frac{1 + 20x + 3x^{2}}{1 − 22x + 21x^{2}} = 1 + 42x + 906x^{2} + 19 050x^{3} + 400 074x^{4} + …. \end{aligned}

Markiere ich die Mittelpunkte der Würfel in der zweiten Schale und verbinde dort Würfel, die eine Fläche gemeinsam haben, mit einer Kante, entsteht das ästhetisch ansprechende Würfelmandala. Es hilft u.a. beim Verständnis des Wachstums der ersten 42 Würfel. Der große Kreis ist die Manifestation einer hyperbolischen Ebene, entstanden durch die Pflasterung von Würfeln an den vier äquatorialen Seiten.

4.4.2. 60^{∘}-Dodekaeder Wie bei der 60^{∘}-Würfelpflasterung gibt es auch bei der 60^{∘}-Dodekaederpflasterung keine Eckwürfel, sondern nur Typ 1-Flächenwürfel und Typ 2-, Typ 3- und Typ 4-Kanten-würfel.

Figure  ^{^{1} ^{3}^{4} ^{3} 1} Figure  ^{2}

Ein Dodekaeder hat 12 Seiten und 30 Kanten. In der ersten Schale befinden sich daher 12 Flächendodekaeder und an jeder Kante drei Kantendodekaeder (Typ 3-Typ 4-Typ 3). A und v_{1} werden wie bei der 60^{∘}-Würfelpflasterung bestimmt. v_{1} := (12 0 60 30)^{t},

A := ( \begin{matrix}6 & 10 & 10 & 10 \\ 0 & \frac{4}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 10·2 + 10· \frac{2}{2} & 21·2 + 4· \frac{2}{2} & 21·2 + 6· \frac{2}{2} & 21·2 + 8· \frac{2}{2} \\ 10 · 1 & 21 · 1 & 21 · 1 & 21 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 & 10 & 10 & 10 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 30 & 46 & 48 & 50 \\ 10 & 21 & 21 & 21 \end{matrix} ) ,

f_{60^{∘}−dodecahedron}(x) = \frac{1}{19} + \frac{6}{19} · \frac{3 + 92x}{(1 − x)(1 − 76x)} = \frac{1 + 25x + 4x^{2}}{(1 − x)(1 − 76x)}

= \frac{1 + 25x + 4x^{2}}{1 − 77x + 76x^{2}} = 1 + 102x + 7 782x^{2} + 591 462x^{3} + ….

4.4.3. 60^{∘}-Tetraeder Wie bei den beiden vorigen Pflasterungen unterteile ich die Tetraeder der 60^{∘}-Pflaste-rung in Flächentetraeder (Typ 1) und Kantentetraeder (Typ 2 bis Typ 4).

Figure  ^{1 ^{4} ^{3}^{3}^{3} ^{3}} Figure  ^{^{2} ^{3} ^{3}^{3}^{4}^{3}}

In der ersten Schale befinden sich vier Flächentetraeder und an jeder der sechs Kanten drei Kantendodekaeder (wieder Typ 3-Typ 4-Typ 3). Eine Besonderheit ist, daß Flächentetraeder keine Fläche mit der nächsten Schale gemeinsam haben.

A := ( \begin{matrix}0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & \frac{4}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 + 2 · \frac{0}{2} & 2 + 2 · \frac{2}{2} & 2 + 4 · \frac{2}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}4 \\ 0 \\ 12 \\ 6 \end{matrix} ) .

Figure  ^{3 3 2 2 2 ^{2} ^{4}}  _{Figure}
f_{60^{∘}−tetrahedron}(x) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \frac{1 + 26x}{(1 − x)(1 − 6x)} = \frac{1 + 15x + 2x^{2}}{(1 − x)(1 − 6x)}

= \frac{1 + 15x + 2x^{2}}{1 − 7x + 6x^{2}} = 1 + 22x + 150x^{2} + 918x^{3} + 5 526x^{4} + ….

Bilder unten: Links die ersten drei Schalen, rechts mit Markierungen in der 3. Schale

4.4.4. 90^{∘}-Oktaeder Auch die Oktaeder der 90^{∘}-Oktaederpflasterung unterteile ich in Flächenoktaeder und Kantenoktaeder. Wegen der 90^{∘}-Winkel gibt es nur eine Kantenoktaederart.

Figure ^{^{2} ^{2}^{1} ^{2} 1} Figure^{^{1}^{1} ^{2}  ^{1}^{2}^{1}^{1}  ^{1} 1^{2}^{2}^{2}  ^{2}^{1}^{1}^{1}^{2}^{1} ^{2}^{1} ^{2} ^{2}}

Figure Typ 1: Ein Flächenoktaeder hat mit drei Oktaedern derselben Schale je eine Seite gemeinsam und mit vier Flächen Flächenkontakt mit der nächsten Schale. Dort entstehen vier Flächenoktaeder und drei Kantenoktaeder. Figure Typ 2: Ein Kantenoktaeder hat mit zwei Oktaedern derselben Schale je eine Seite gemeinsam und mit sechs Flächen Flächenkontakt zur nächsten Schale. Dort entstehen sechs Flächenoktaeder und sieben Kantenoktaeder.

A := ( \begin{matrix}4 & 6 \\ 3 · 1 & 7 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}4 & 6 \\ 3 & 7 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}8 \\ 12 \end{matrix} ) .

f_{90^{∘}−octahedron}(x) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} · \frac{1 + 14x}{(1 − x)(1 − 10x)} = \frac{1 + 9x + 2x^{2}}{(1 − x)(1 − 10x)}

= \frac{1 + 9x + 2x^{2}}{1 − 11x + 10x^{2}}

= 1 + 20x + 212x^{2} + 2 132x^{3} + 21 332x^{4} + 213 332x^{5} + ….

Figure  Figure

Rechtes Bild: Die ersten drei Schalen mit den dualen Linien in der 3. Schale von ∞ aus gesehen.

4.4.5. 90^{∘}-Paciolipolyeder Werden an einem Würfel die Kanten und Ecken abgeschabt, kann ein Körper mit 6 Quadraten, 12 Rechtecken und 8 Dreiecken als Seitenflächen entstehen. Einen solchen Körper bezeichne ich im Folgenden als Paciolipolyeder. Er hat 24 Quadrat-Rechteck-Kanten und 24 Rechteck-Dreieck-Kanten, und all seine 24 Ecken sind gleich, d.h., seine Symmetriegruppe operiert transitiv auf den Ecken. Im hyperbolischen Raum gibt es einen pflasternden 90^{∘}-Paciolipolyeder, dessen Ecken sich sämtlich im Unendlichen befinden. Ein zusammengeklapptes Modell befindet sich am Ende dieser Arbeit.

Figure  Figure

Ich unterscheide fünf Polyedertypen: drei Flächentypen (Typ 1, Typ 2 und Typ 3) und zwei Kantentypen (Typ 4 und Typ 5). Typ 1 hat ein Quadrat mit der vorigen Schale gemeinsam, Typ 2 hat ein Rechteck mit der vorigen Schale gemeinsam, Typ 3 hat ein Dreieck mit der vorigen Schale gemeinsam, Typ 4 hat nur eine Quadratkante mit der vorigen Schale gemeinsam und Typ 5 hat nur eine Dreieckskante mit der vorigen Schale gemeinsam:

Figure  Figure  Figure  Figure  Figure

Die braunen Kanten gehören auch zur vorigen Schale, und die Flächen in dem von den roten Kanten umgrenzten Bereich sind Grundflächen von Polygonen der nächsten Schale. An den roten Kanten entstehen aufgrund der 90^{∘}-Winkel keine Kantenpolyeder.

A := ( \begin{matrix}5 & 4 & 6 & 5 & 6 \\ 8 & 11 & 9 & 11 & 11 \\ 8 & 6 & 7 & 8 & 7 \\ 16 & 16 & 18 & 19 & 22 \\ 16 & 18 & 18 & 22 & 20 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}6 \\ 12 \\ 8 \\ 24 \\ 24 \end{matrix} ) .

f_{90^{∘}−pacioli}(x) = \frac{1}{23} + \frac{2}{23} · \frac{11 + 169x + 43x^{2} − 1185x^{3} − 1062x^{4}}{(1 − x)(1 − 61x − 55x^{2} + 429x^{3} + 414x^{4})}

= \frac{(1 + x)(1 + 11x − 7x^{2} − 75x^{3} − 18x^{4})}{(1 − x)(1 − 61x − 55x^{2} + 429x^{3} + 414x^{4})}

= \frac{1 + 12x + 4x^{2} − 82x^{3} − 93x^{4} − 18x^{5}}{1 − 62x + 6x^{2} + 484x^{3} − 15x^{4} − 414x^{5}}

= 1 + 74x + 4 586x^{2} + 283 322x^{3} + ….

Falls die Kanten und Ecken eines Würfels in der richtigen Weise abgeschabt werden, entsteht ein besonderer Körper: der Rhombenkuboktaeder, ein archimedischer Körper mit 18 Quadraten und acht Dreiecken als Seitenflächen. Wie die beiden folgenden Bilder zeigen, ist er mindestens schon um die 500 Jahre bekannt. Das linke Bild (gemalt von Jacopo de’Barbari) zeigt Fra Luca Pacioli (1445-1514). Das rechte Bild ist eine Illustration von Leonardo da Vinci für Paciolis Werk DIVINA PROPORTIONE.

Figure  Figure

Eines Tages kam mir das linke Bild in den Kopf, und ich beschloß, den dargestellten Körper im hyperbolischen Raum zu pflastern. Dabei verformten sich allerdings 12 Quadrate zu Rechtecken. In Anlehnung an das linke Bild bezeichne ich den entstanden Körper als Paciolipolyeder.

Ich besitze zur Zeit keinen streng mathematischen Beweis für die Existenz des 90^{∘}- Paciolipolyeders.

Auf das Paciolipolyedermodell am Ende der Arbeit sind die ersten beiden Schalen und die Flächennachbarschaftskanten der zweiten Schale projiziert.

Kapitel 5: Pflasterungen mit verschiedenen Bausteinen

Eine Pflasterung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit heißt monohedral, wenn alle Pflastersteine kongruent zueinander sind (siehe [Gr./Sheph., 1.2]). Die bisher betrachteten Pflasterungen sind monohedral. In diesem Kapitel werden zwei Arten nichtmonohedraler Pflasterungen vorgestellt: quasireguläre und quasiquasireguläre Polygonpflasterungen.

§5.1. Quasireguläre Polygonpflasterungen

Definition: Sei P ein konvexes Polygon. Das Inpolygon von P ist das konvexe Polygon, dessen Ecken die Kantenmittelpunkte von P sind. Figure Seien n, m ∈ ℤ mit n, m ≥ 4. Die hyperbolische (bzw. euklidische, falls n=m=4) Ebene wird mit regelmäßigen n-eckigen 360^{∘}/m-winkligen Polygonen gepflastert (siehe §1.2. und §1.3.). Dieser Pflasterung T regelmäßiger Polygone ordne ich nun eine zweite Pflasterung T′ zu, welche ich nach [Joyce] als {n, m}- quasireguläre Pflasterung bezeichne. Ich erhalte die neue Pflasterung T′, indem ich in der Pflasterung T jedes Polygon durch sein Inpolygon ersetze. Die dabei entstehenden Lücken in der Form regelmäßiger m-Ecke zähle ich auch zu T′. T′ hat daher zwei Pflastersteinarten: n-eckige regelmäßige Inpolygone und regelmäßige m-Ecke. An jeder Ecke von T ist in T′ genau ein m-Eck. Ich unterscheide vier Polygontypen in T′: Typ 1 ist ein n-eckiges Kantenpolygon, Typ 2 ist ein n-eckiges Eckpolygon, Typ 3 ist ein m-eckiges Kantenpolygon und Typ 4 ein m-eckiges Eckpolygon.

Figure^{3 ^{3}  ^{3}^{3}^{1} ^{2}  ^{2}^{3} ^{3}^{2}^{{5, 4}}  2}  _{Figure}^{^{{6, 5}}  3  ^{2}^{1} ^{4}  ^{2}^{2} ^{3}^{3} ^{3}^{3}^{1}  ^{2}}

A := ( \begin{matrix}0 & 0 & m − 3 & m − 2 \\ n − 4 & n − 3 & 0 & 0 \\ n − 3 & n − 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m − 4 & m − 3 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}0 \\ n \\ n \\ 0 \end{matrix} ) .

Die Wachstumsfunktion der {n, m}-quasiregulären Pflasterung mit einem n-eckigen Inpolygon als nullte Schale lautet:

f_{\{n,m\}−quasi regular, base n}(x) = 1 + \frac{2nx}{1−(m+n−6)x+x^{2}} = \frac{1 − (m − n − 6)x + x^{2}}{1 − (m + n − 6)x + x^{2}} .

Wenn ein m-Eck die nullte Schale ist, erhalte ich die Wachstumsfunktion, indem ich n und m vertausche:

f_{{n,m}−quasi regular, base m}(x) = f_{{m,n}−quasi regular, base m}(x).

§5.2. Quasiquasireguläre Pflasterungen

Ein kompaktes Viereck heißt Rechteck, falls alle Winkel gleich und die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind. Ein hyperbolisches Rechteck hat trotz seines Namens keine rechten Winkel. Ersetze ich nicht die Polygone der Pflasterung T durch ihre Inpolygone, sondern die Polygone der {n, m}-quasiregulären Pflasterung durch deren Inpolygone, erhalte ich eine dritte Pflasterung T′′, welche ich {n, m}-quasiquasireguläre Pflasterung nenne. Sie besteht aus regelmäßigen n-Ecken, regelmäßigen m-Ecken und Rechtecken. Die Rechtecke von T′′ befinden sich an den Ecken von T′ (an jeder Ecke von T′ treffen sich genau vier Kanten von T′). Die Symmetriegruppe von T′′ operiert transitiv auf den Ecken von T′′.

{5, 4}  {6, 5} Figure  Figure

In den beiden Bildern ist T schwarz und T′′ farbig eingezeichnet. Die Wachstumsfunktion läßt sich mit Hilfe der eingezeichneten Pflasterung regelmäßiger \frac{2π}{m} -winkliger n-Ecke bestimmen, indem der Zeilenvektor modifiziert wird:

S := ( \begin{matrix}1 + \frac{2}{2} + (n − 3 + n − 4 + \frac{2}{2})x \\ 1 + \frac{2}{2} + (n − 2 + n − 3 + \frac{2}{2})x \end{matrix} )^{t} = ( 2 + (2n − 6)x 2 + (2n − 4)x ),

A := ( \begin{matrix}n − 3 & n − 2 \\ mn − 3(n + m) + 8 & mn − 3n − 2m + 5 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}n \\ n(m − 3) \end{matrix} ) .

f_{{n,m}−quasiquasi regular, base n}(x) = 1 + 2nx + S · (1 − Ax^{2})^{−1} · v_{1}x^{2}

= 1 + 2nx + 2nx\frac{1 + (m − 2)x + x^{2}}{1 − (mn − 2(m + n) + 2)x^{2} + x^{4}} .

§5.2. Quasiquasireguläre Pflasterungen 93

Ebenso können die stumpfwinkligen quasiquasiregulären Pflasterungen behandelt werden (vgl. Abschnitt 1.5.):

S := ( \begin{matrix}1 + \frac{2}{2} + (n − 3 + n − 4 + \frac{2}{2})x \\ 1 + \frac{2}{2} + (n − 4 + n − 5 + \frac{2}{2})x \end{matrix} )^{t} = ( 2 + (2n − 6)x 2 + (2n − 8)x ),

A := ( \begin{matrix}n − 5 & n − 6 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , v_{1} := ( \begin{matrix}n \\ 0 \end{matrix} ) .

f_{{n,3}−quasiquasi regular, base n}(x) = 1 + 2nx + S · (1 − Ax^{2})^{−1} · v_{1}x^{2}

= 1 + \frac{1 + x + x^{2}}{1 − (n − 4)x^{2} + x^{4}} = \frac{1 + 2nx + (n + 4)x^{2} + 2nx^{3} + x^{4}}{1 − (n − 4)x^{2} + x^{4}} .

f_{\{7,3\}−quasiquasi regular, base 7}(x) = \frac{1 + 14x + 11x^{2} + 14x^{3} + x^{4}}{1 − 3x^{2} + x^{4}}

= 1 + 14x + 14x^{2} + 56x^{3} + 42x^{4} + 154x^{5} + 112x^{6} + 406x^{7} + 294x^{8} + …. Bemerkenswert ist, daß in der vierten Schale weniger Polygone sind als in der dritten Schale.

Kapitel 6: Nichtrationale Wachstumsfunktionen, Äquivalenzbeispiel

Alle bisher in dieser Arbeit betrachteten Pflasterungen hatten eine rationale Wachstumsfunktion. In diesem Kapitel stelle ich überabzählbar viele Pflasterungen mit nichtrationaler Wachstumsfunktion vor. Danach gebe ich vier äquivalente Pflasterungen an.

§6.1. Nichtrationale Pflasterungen

Figure Sei a = (a_{n})_{n∈IN} eine Folge in IN = {1, 2, 3, …}. Dieser Folge ordne ich eine Pflasterung des IR^{2} wie folgt zu: Für jedes n ∈ IN wird ein Kreis mit dem Radius n − \frac{1}{2} um den Ursprung gezeichnet. Nun wird von innen her der n-te Kreisring in a_{n} Sektoren (oder gar nicht, falls a_{n} = 1) unterteilt. Der Kreis im Ursprung sei die nullte Schale. Die entstehende Pflasterung hat dann eine Wachstumsfunktion f_{(a_{n})_{n∈IN}}(x) = 1 + ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n}. Rechts ist ein Ausschnitt einer solchen Pflasterung, wobei a_{n} die Dezimalstellen von \sqrt{2} durchläuft (die Ziffer 0 wird dabei durch 10 ersetzt). Weil \sqrt{2} irrational ist, sind die Nachkommastellen nicht periodisch. Daher gibt es keine N, r ∈ IN, so daß für alle n ≥ N sich a_{n} aus (a_{n−r}, a_{n−r+1}, …, a_{n−1}) bestimmen läßt. Die zugehörige Wachstumsfunktion f\sqrt{2}(x) = 1 + 4x + x^{2} + 4x^{3} + 2x^{4} + x^{5} + 3x^{6} + … ist somit keine rationale Funktion (siehe auch §7.1.). Da die Menge der Folgen in IN überabzählbar ist, gibt es überabzählbar viele verschiedene Pflasterungen und Wachstumsfunktionen. Die Menge ℚ(x) ist abzählbar.

Im vorigen Beispiel habe ich in der Pflasterung zur Konstruktion einer nicht-rationalen Pflasterung nicht-kongruente Pflastersteine benutzt. Im folgenden Beispiel wird die Existenz monohedraler nicht-rationaler Pflasterungen gezeigt.

Figure Sei (b_{n})_{n∈IN} eine Folge in {0, 1}. IR^{2} wird in senkrechte Streifen [i, i+1]×IR mit i ∈ ℤ unterteilt. Jeder dieser Streifen wird mit Einheitsquadraten gepflastert. Alle Streifen links von der y-Achse und der Streifen [0, 1]×IR seien kantenweise aneinandergefügt. Die Streifen rechts von der y-Achse seien so zusammengefügt, daß für alle n ∈ IN gilt: Falls b_{n} = 0, sind die beiden Streifen [n − 1, n] × IR und [n, n + 1] × IR kantenweise aneinandergeklebt, falls b_{n} = 1, sind sie um \frac{1}{2} vertikal versetzt verklebt. Das Quadrat der nullten Schale sei im Streifen [−1, 0]×IR. In der ersten Schale befinden sich acht Quadrate.

§6.2. Beispiel äquivalenter Pflasterungen 95

Ist b_{1} = 0, sind die Streifen [0, 1] × IR und [1, 2] × IR kantenweise aneinandergeklebt und in der zweiten Schale befinden sich acht Quadrate mehr als in der ersten. Ist dagegen b_{1} = 1, so sind die zwei Streifen versetzt verklebt, und in der zweiten Schale befinden sich nur sieben Quadrate mehr als in der ersten (dieser Fall liegt im Bild unten auf Seite 94 vor). Genauso verhält es sich auch bei den weiteren Schalen: Je nachdem, ob das jeweilige b_{n} = 0 oder 1 ist, kommen in der nächsten Schale 8 oder 7 Quadrate hinzu. Damit ist die Wachstumsfunktion von der Form

f_{(b_{n}∈{0,1})}(x) = 1 + 8x + ∑_{n=1}^{∞} ( 8 +∑_{i=1}^{n} (8 − b_{i}) )x^{n+1}

Ein Ausschnitt aus der Pflasterung zur Folge (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, …) ist im Bild (S. 94 unten) zu sehen. Die Abbildung von den Folgen IN → {0, 1} zu den Wachstumsfunktionen in ℤ[[x]] ist injektiv. Da es überabzählbar viele Folgen in {0, 1} gibt, ist die Menge der nicht-rationalen monohedralen Pflasterungen nicht abzählbar und insbesondere nicht leer.

§6.2. Beispiel äquivalenter Pflasterungen

Figure  Figurë Aquivalente (d.h. homöomorphe) Pflasterungen können recht ver-

schiedene Gestalten annehmen: Die L-Pflasterung (hier rechts), die Heesch-Polygon-Pflasterung (unten links; ein Heesch-Polygon pflastert die Ebene, aber kann nicht Fundamentalbereich ei-

ner Gruppe sein; [Gale]) und die Parkettfußbodenpflasterung sind alle äquivalent zur Bienenwabenpflasterung und haben daher auch alle die Wachstumsfunktion \frac{1+4x+x^{2}}{1−2x+x^{2}} .

Kapitel 7: Eigenschaften der Wachstumsfunktionen

In diesem Kapitel stelle ich einige Eigenschaften von Wachstumsfunktionen vor und werte die in dieser Arbeit berechneten aus.

§7.1. Rekursivität, Differenzenfolge

Eine Pflasterung habe die rationale Wachstumsfunktion

f(x) = \frac{∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i}}{∑_{j=0}^{m} c_{j}x^{j}} = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}.

mit m ≤ n, b_{n} ≠ 0, c_{m} ≠ 0 und c_{0} = 1. Die Bedingung c_{0} = det(A) = 1 wird von allen rationalen Wachstumsfunktionen dieser Arbeit erfüllt. Durch beiderseitige Multiplikation mit dem Nenner folgt:

∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i} = (∑_{j=0}^{m} c_{j}x^{j})(∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}) = ∑_{l=0}^{∞} ∑_{j=0}^{min{m,l}} c_{j}a_{l−j}x^{l}.

Koeffizientenvergleich unter Benutzung von c_{0} = 1 liefert:

a_{l} = − ∑_{j=1}^{m} c_{j}a_{l−j} = −c_{1}a_{l−1} − c_{2}a_{l−2} − … − c_{m}a_{l−m} für alle l ≥ n + 1.

Damit sind die höheren Glieder der Wachstumsreihe durch eine lineare Differenzengleichung rekursiv bestimmt. Ein bekanntes Beispiel ist die Fibonacci-Folge a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{l} = a_{l−1} + a_{l−2} für l ≥ 2. Nach dem ersten Verfahren in Abschnitt 6.1. erhalte ich eine Pflasterung mit einer Wachstumsfunktion

f_{Fibonacci}(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} = \frac{1}{1 − x − x^{2}} .

Die 90^{∘}-Oktaederpflasterung (vgl. Seite 88) hat die Wachstumsreihe

f_{90^{∘}−octahedron}(x) = 1 + 20x + 212x^{2} + 2 132x^{3} + 21 332x^{4} + 213 332x^{5} + ….

Die weiteren Koeffizienten entstehen, indem immer eine weitere 3 vor die letzte Ziffer gesetzt wird. Das liegt am Nenner (1 − x)(1 − 10x) = 1 − 11x + 10x^{2} der Wachstumsfunktion und der Darstellung der Koeffizienten im Dezimalsystem. Die 60^{∘}-Würfelpflasterung hat den Nenner (1 − x)(1 − 21x), die 60^{∘}-Dodekaederpflaste-rung hat den Nenner (1 − x)(1 − 76x), und die 60^{∘}-Tetraederpflasterung hat den Nenner (1 − x)(1 − 6x). Bei Darstellung in den entsprechenden Zahlsystemen wird die rekursive Struktur auch hier in der Wachstumsreihe sofort sichtbar (im 76er System steht A für 10, B für 11, …):

f_{60^{∘}−cube}(x) = 1_{21} + 20_{21}x + 213_{21}x^{2} + 2 143_{21}x^{3} + 21 443_{21}x^{4} + 214 443_{21}x^{5} + …,
f_{60^{∘}−dode}(x) = 1_{76} + 1P_{76}x + 1PT_{76}x^{2} + 1 PTT_{76}x^{3} + 1P TTT_{76}x^{4} + …,
f_{60^{∘}−tetra}(x) = 1_{6} + 34_{6}x + 410_{6}x^{2} + 4 130_{6}x^{3} + 41 330_{6}x^{4} + 413 330_{6}x^{5} + ….

§7.4. Symmetrien der Wachstumsfunktionen 97

§7.2. Welche Wachstumsreihen gibt es?

Sei f(x) = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} ∈ ℤ[[x]] die Wachstumsreihe einer Pflasterung. f(x) hat folgende drei Eigenschaften:

1. a_{0}=1.

2. a_{i} ≥ 0 für alle i.

3. Für alle i gilt a_{i} = 0 ⇒ a_{i+1} = 0. Danach ist f(x) von der Form 1+∑_{i=1}^{∞} a_{i}x^{i} oder 1 + ∑_{i=1}^{n} a_{i}x^{i} mit beliebigen a_{i} ∈ IN. Wegen §6.1. ist klar, daß umgekehrt jedes f(x) mit diesen Eigenschaften eine Wachstumsreihe einer Pflasterung ist.

§7.3. Wahl des Grundbausteins

Je nach Wahl des Bausteins, der die nullte Schale bildet, kann eine Wachstumsfunktion einer Pflasterung sehr verschieden ausfallen. Beispiel: Sei X := IR gepflastert mit den Intervallen T_{0} := ] −∞, 0], T_{1} := [1, ∞[ und

T_{n} := [\frac{1}{n}, \frac{1}{n−1}] für n ≥ 2. Dann besitzt (X, (T_{n})_{n∈IN_{0}}) unter anderem folgende zwei Wachstumsfunktionen:

\begin{aligned}f_{(X,(T_{n})),T_{0}}(x) & = 1, \\ f_{(X,(T_{n})),T_{1}}(x) & = \frac{1}{1 − x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + …. \end{aligned}

§7.4. Symmetrien der Wachstumsfunktionen

Viele Wachstumsfunktionen weisen sowohl in den Zähler- als auch in den Nennerkoeffizienten Symmetrien auf: Die Koeffizienten erfüllen oft (in der Schreibweise von §7.1.) die Gleichungen b_{i} = b_{n−i} und c_{j} = c_{m−j}. Nach [Fl./Pl.2] nenne ich eine Wachstumsfunktion f reziprok, wenn sie die Identität

f(x) = ±f(1/x)

erfüllt. Sind Zähler- und Nennergrad von f gleich und die Koeffizienten (anti-)symme-trisch, so ist f reziprok. Wann ist eine Wachstumsfunktion einer Pflasterung reziprok? In [Fl./Pl.2] wird ein planares Reziprozitätstheorem bewiesen, welches besagt, daß die Wachstumsfunktion einer diskreten, cokompakten Gruppe von Isometrien von IH^{2} oder IE^{2} mit geometrischem Erzeugendensystem Σ (siehe Einleitung) die Gleichung f(x) = f(1/x) erfüllt, falls der Fundamentalbereich nicht zu einer gewissen Menge von Dreiecken und Vierecken mit 120^{∘}-Winkeln gehört. Die Pflasterung eines solchen Ausnahmedreiecks oder -vierecks hat die Eigenschaft, daß es Pflastersteine gibt, die in einer Schale vergraben* sind in der Weise, daß sie nur mit einer Ecke oder gar nicht Kontakt zur nächsten Schale haben.

* In [Fl./Pl.2]: … they are “buried” in the “combinatorial ball of radius 3”.

Ein solches Phänomen tritt auch bei den hier betrachteten Wachstumsfunktionen auf, allerdings nur bei den Pflasterungen, welche Pflastersteine besitzen, die noch nicht einmal eine Ecke mit der nächsten Schale gemeinsam haben: Bei den rechtwinkligen Dreiecken und in starker Weise bei den gleichschenkligen Dreiecken mit 120^{∘}-Winkel gibt es solche vergrabenenen Pflastersteine (siehe z.B. die Seiten 32, 34, 36 und 44f). Die Pflasterungen ohne vergrabene Pflastersteine, z.B. die restlichen Dreieckspflasterungen und die regelmäßigen Polygonpflasterungen, besitzen reziproke Wachstumsfunktionen. Auch die quasi- und quasiquasiregulären Pflasterungen besitzen reziproke Wachstumsfunktionen. Alle in dieser Arbeit betrachten Pflasterungen mit nichtkompakten Pflastersteinen sind nicht reziprok. Die betrachteten dreidimensionalen Pflasterungen mit kompakten Pflastersteinen sind alle reziprok und erfüllen f(x) = −f(1/x).

In [Fl./Pl.2] und [Series] wurden beim Beweis der Reziprozitätssätze die Winkel der Schalenränder betrachtet: In [Series] beschreibt eine Wachstumsmatrix A die Winkel der Schalenränder beim Schritt zur nächsten Schale und es gilt dann z.B. T AT = A^{−1} für ein gewisses T mit T^{2} = I. Solche Winkelwachstumsmatrizen scheinen auch für die in dieser Arbeit betrachteten ebenen Pflasterungen eine gewisse Bedeutung zu besitzen, denn A und A^{−1} unterschieden sich auch hier kaum. Ein Beispiel für eine solche Matrix paßte aber nicht mehr in diese Arbeit herein.

§7.5. Null- und Polstellen

In [Ca./Wa.] befindet sich eine Beschreibung der Null- und Polstellen von Dreiecksgruppen und Fundamentalgruppen geschlossener kompakter Flächen für geometrische Erzeugendensysteme. Bei den in dieser Arbeit berechneten Wachstumsfunktionen fallen mir u.a. folgende Eigenschaften auf:

• Bei den euklidischen und hyperbolischen rechtwinkligen Dreieckspflasterungen sind die Polstellen reziprok, d.h., λ ist genau dann Polstelle, wenn 1/λ Polstelle ist.

• Die spitzwinkligen Dreieckspflasterungen besitzen reziproke Wachstumsfunktionen, daher sind auch deren Null- und Polstellen reziprok. Die gerundeten Null- und Polstellen deuten daraufhin, daß die nichtreellen Null- und Polstellen auf dem Einheitskreisrand liegen.

• Die gleichschenkligen Dreieckspflasterungen ohne 120^{∘}-Winkel verhalten sich wie die spitzwinkligen Dreieckspflasterungen.

• Die nichtreellen Nullstellen der quasiquasiregulären Pflasterungen sind vom Betrag 1.

• Bei den Kongruenzgruppen gibt es nichtreelle Nullstellen außerhalb des Einheitskreises.

Eine Liste der Null- und Polstellen befindet sich auf den Seiten 105ff. Die meisten Nullund Polstellen dort sind gerundet.

§7.6. Werte in 1 99

§7.6. Werte in 1

Sehr interessant ist der Wert, den eine Wachstumsfunktion in der Stelle 1 annimmt. In [Fl./Pl.1] und [Series] wird für geometrische Erzeugendensysteme planarer Gruppen der Zusammenhang zwischen f(1) und der Euler-Charakteristik 1/χ(G) besprochen: Oft gilt f(1) = 1/χ(G) oder f(x) = 1/χ(G) + (1 − x)(2χ(G))^{−1}w(1 − Ax)^{−1}v (ersteres folgt aus letzterem, falls 1 − A invertierbar ist). Area(F) sei die Fläche eines Pflastersteins F einer Pflasterung des IH^{2}. Ein hyperbolisches Dreieck mit den Winkeln π/p, π/q, π/r hat die Fläche π − π/p − π/q − π/r. Wie in [Fl./Pl.1] erfüllen die hier berechneten Wachstumsfunktionen oft die Gleichung f(1) = \frac{−2π}{Area(F)} + c, wobei c häufig gleich 0 ist. Im Einzelnen gelten:

f_{(2,q,r)}(1) = −\frac{6qr − 4q − 4r}{qr − 2q − 2r} = −2 − \frac{4qr}{qr − 2q − 2r} = \frac{−2π}{Area(2, q, r)} − 2,
f_{(p,q,r)}(1) = \frac{−2π}{Area(p, q, r)} für (p, q, r ≥ 3) oder (p = q, r ≠ 2),
f_{\{n,m\}}(1) = \frac{−2m}{mn − 2n − 2m} = \frac{−2π}{nπ − 2π − n\frac{2π}{m}} = \frac{−2π}{Area\{n, m\}},
f_{π_{1}(𝕋^{g})} (1) = f_{\{4g,4g\}}(1) = \frac{−2}{4g − 4} = \frac{1}{2 − 2g} = \frac{1}{χ(𝕋^{g})}.

Für die nichtkompakten Dreiecke gilt ebenfalls c = 0. Ein besonderes nichtkompaktes Dreieck ist (3, 3, ∞), ein Fundamentalbereich von PSL_{2}(ℤ) (siehe auch Seite 53). Es gilt \frac{−2π}{Area(3,3,∞)} = −6. Eine Untergruppe Γ von PSL_{2}(ℤ), deren Fundamentalbereich F aus Index(Γ) Kopien des (3, 3, ∞)-Dreiecks zusammengesetzt ist, erfüllt

\frac{−2π}{Area F} = \frac{−6}{Index(Γ)}.

Alle in dieser Arbeit berechneten Wachstumsfunktionen der Γ̄^{0}(n) erfüllen

f(1) = \frac{−6}{Index(Γ)}.

Interessant finde ich

f_{\{n,m\}−quasiquasi regular, base n}(1) = −\frac{mn + 2n + 2m}{mn − 2n − 2m} = 1 + \frac{−2π}{Area(m, m, n/2)}.

Denn das regelmäßige \frac{2π}{m} -winklige n-Eck, aus dessen Pflasterung die quasiquasiregelmäßige Pflasterung gewonnen wird, besteht aus n Kopien des Dreiecks (m, m, n/2). Was mag die 1 bedeuten?

Diese Funktionen sollte man näher untersuchen …

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen

Kompakte Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke: q, r ∈ IN mit 1/q + 1/r ≤ 1/2.

f_{(2,3,r)}(x) = \frac{1 + (2r + 4)x + (7r − 9)x^{2} + (4r − 2)x^{3} + (r − 3)x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − (r − 4)x^{2} + x^{4}}

= 1 − 2x − x^{2} + \frac{(2r + 6)x + (8r − 12)x^{2} + (2r + 6)x^{3}}{1 − (r − 4)x^{2} + x^{4}}

f_{(2,q,r)}(x) = 1 − 2x − x^{2} + 2x\frac{(q + r) + 2(qr − q − r)x + (q + r)x^{2}}{1 − (2 − 2q − 2r + qr)x^{2} + x^{4}}

= \frac{{1 + 2(q + r − 1)x + (3qr − 2q − 2r − 3)x^{2} + 2(qr − q − r + 2)x^{3} \atop +(qr − 2q − 2r + 3)x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}}{1 − (qr − 2q − 2r + 2)x^{2} + x^{4}}

f_{(2,3,6)}(x) = \frac{1 + 14x + 4x^{2} − x^{4}}{1 − 2x + x^{2}}
f_{(2,3,7)}(x) = \frac{1 + 18x + 40x^{2} + 26x^{3} + 4x^{4} − 2x^{5} − x^{6}}{1 − 3x^{2} + x^{4}}
f_{(2,4,4)}(x) = \frac{1 + 12x + 4x^{2} − x^{4}}{1 − 2x + x^{2}}

= 1 − 2x − x^{2} + \frac{16x}{(1 − x)^{2}}

Spitzwinklige Dreiecke: Σ := p+q+r und Π := pq+pr+qr für p, q, r ∈ ℤ mit p, q, r ≥ 3.

f_{(p,q,r)}(x) = 1+2x\frac{(Σ−3)(1 + x^{4}) + (2Π−6Σ+12)(x + x^{3}) + (3pqr−5Π+10Σ−18)x^{2}}{(1 + x^{6}) − (Π − 4Σ + 9)(x^{2} + x^{4}) − (2pqr − 4Π + 8Σ − 16)x^{3}}

= \frac{{(1 + x^{6}) + (2Σ − 6)(x + x^{5}) + (3Π − 8Σ + 15)(x^{2} + x^{4}) \atop +(4pqr − 6Π + 12Σ − 20)x^{3}}}{1 − (Π − 4Σ + 9)x^{2} − (2pqr − 4Π + 8Σ − 16)x^{3} − (Π − 4Σ + 9)x^{4} + x^{6}}

f_{(3,3,4)}(x) = 1 + 2x\frac{7 + 11x + 7x^{2}}{1 − x − 2x^{2} − x^{3} + x^{4}}

= \frac{1 + 13x + 20x^{2} + 13x^{3} + x^{4}}{1 − x − 2x^{2} − x^{3} + x^{4}}

f_{(3,4,5)}(x) = 1 + 2x\frac{9 + 34x + 47x^{2} + 34x^{3} + 9x^{4}}{1 − 8x^{2} − 12x^{3} − 8x^{4} + x^{6}}

= \frac{1 + 18x + 60x^{2} + 82x^{3} + 60x^{4} + 18x^{5} + x^{6}}{1 − 8x^{2} − 12x^{3} − 8x^{4} + x^{6}}

Gleichschenklige Dreiecke I: p ∈ ℤ mit p ≥ 6.

f_{(p,p,3/2)}(x) = 1 − 3x + 4x\frac{p + 3x}{1 − (p − 4)x + x^{2}} = 13 − 3x − 4\frac{3 − 4(p − 3)x}{1 − (p − 4)x + x^{2}}

= \frac{1 + (3p + 1)x + (3p + 1)x^{2} − 3x^{3}}{1 − (p − 4)x + x^{2}}

f_{(6,6,3/2)}(x) = 1 − 3x + 12x\frac{2 + x}{(1 − x)^{2}} = \frac{1 + 19x + 19x^{2} − 3x^{3}}{(1 − x)^{2}}

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 101 Gleichschenklige Dreiecke II: p ∈ ℤ mit (p ≥ 4 und r = 2.5) oder (p ≥ 3 und r ∈ \{\frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}, …\}).

f_{(p,p,r)}(x) = 1 + 2x\frac{(2p + r − 3) + (3pr − 5p − 4r + 6)x + (2p + r − 3)x^{2}}{1 − (p − 2)x − (2pr − 4p − 4r + 6)x^{2} − (p − 2)x^{3} + x^{4}}

= \frac{1 + (3p + 2r − 4)x + (4pr − 6p − 4r + 6)x^{2} + (3p + 2r − 4)x^{3} + x^{4}}{1 − (p − 2)x − (2pr − 4p − 4r + 6)x^{2} − (p − 2)x^{3} + x^{4}}

f_{(3,3,3.5)}(x) = 1 + x\frac{13 + 17x + 13x^{2}}{1 − x − x^{2} − x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 12x + 16x^{2} + 12x^{3} + x^{4}}{1 − x − x^{2} − x^{3} + x^{4}}
f_{(4,4,2.5)}(x) = 1 + 3x\frac{5 + 4x + 5x^{2}}{1 − 2x − 2x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 13x + 12x^{2} + 13x^{3} + x^{4}}{1 − 2x − 2x^{3} + x^{4}}

Gleichseitige Dreiecke: p ∈ \frac{1}{2}ℤ mit p ≥ 3.

\begin{aligned}f_{(p,p,p)}(x) & = 1 + 3x\frac{2p − 2}{1 − (2p − 4)x + x^{2}} = \frac{1 + (4p − 2)x + x^{2}}{1 − (2p − 4)x + x^{2}} \\ f_{(3,3,3)}(x) & = \frac{1 + 10x + x^{2}}{(1 − x)^{2}} \\ f_{(3.5,3.5,3.5)}(x) & = \frac{1 + 12x + x^{2}}{1 − 3x + x^{2}} \end{aligned}

Nichtkompakte Dreiecke

f_{(p,q,∞)}(x) = 1 + x + 2x\frac{p + q − 2 + 2(pq − p − q + 1)x}{1 − (pq − p − q + 1)x^{2}}

= \frac{1 + (2p + 2q − 3)x + 3(pq − p − q + 1)x^{2} − (pq − p − q + 1)x^{3}}{1 − (pq − p − q + 1)x^{2}}

f_{(2,3,∞)}(x) = 1 + x + 2x\frac{3 + 4x}{1 − 2x^{2}} = \frac{1 + 7x + 6x^{2} − 2x^{3}}{1 − 2x^{2}}
f_{(5,3,∞)}(x) = 1 + x + 4x\frac{3 + 8x}{1 − 8x^{2}} = \frac{1 + 13x + 24x^{2} − 8x^{3}}{1 − 8x^{2}}
f_{(p,p,∞)}(x) = 1 + x + \frac{4(p − 1)x}{1 − (p − 1)x} = \frac{1 − (3p − 2)x − (p − 1)x^{2}}{1 − (p − 1)x}
f_{(2,2,∞)}(x) = \frac{1 + 4x − x^{2}}{1 − x}

\begin{aligned}f_{(p,∞,∞)}(x) & = −1 + \frac{2 + 2px}{1 − (2p − 1)x^{2}} = \frac{1 + 2px + (2p − 1)x^{2}}{1 − (2p − 1)x^{2}} \\ f_{(3/2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − 2x^{2}} \\ f_{(2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 4x + 3x^{2}}{1 − 3x^{2}} \\ f_{(5/2,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 5x + 4x^{2}}{1 − 4x^{2}} \\ f_{(3,∞,∞)}(x) & = \frac{1 + 6x + 5x^{2}}{1 − 5x^{2}} \end{aligned}

102 Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen Regelmäßige n-eckige Polygone mit \frac{2π}{m} -Winkeln

f_{\{n,m\}}(x) = \frac{1 + 2(m − 1)x + x^{2}}{1 − (mn − 2n − 2m + 2)x + x^{2}} = \frac{1 +  2mx − 2x + x^{2}}{1 − (m − 2)(n − 2)x + 2x + x^{2}}

\begin{aligned}f_{\{n,3\}}(x) & = \frac{1 + 4x + x^{2}}{1 − (n − 4)x + x^{2}} \\ f_{\{6,3\}}(x) & = \frac{1 + 4x + x^{2}}{(1 − x)^{2}} \\ f_{\{7,3\}}(x) & = \frac{1 + 4x + x^{2}}{1 − 3x + x^{2}} \\ f_{\{8,3\}}(x) & = \frac{1 + 4x + x^{2}}{1 − 4x + x^{2}} \\ f_{\{n,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 2(n − 3)x + x^{2}} \\ f_{\{4,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 2x + x^{2}} \\ f_{\{5,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 4x + x^{2}} \\ f_{\{6,4\}}(x) & = \frac{1 + 6x + x^{2}}{1 − 6x + x^{2}} \\ f_{\{n,∞\}}(x) & = \frac{1 + x}{1 − (n − 1)x} \end{aligned}

Quasi- und Quasiquasireguläre Pflasterungen: n, m ∈ ℤ mit n, m ≥ 4.

f_{\{n,m\}-quasi regular, base n}(x) = 1 + \frac{2nx}{x^{2}−(m+n−6)x+1}

= \frac{x^{2} − (m − n − 6)x + 1}{x^{2} − (m + n − 6)x + 1}

f_{{n,m}-quasi regular, base m}(x) = f_{{m,n}-quasi regular, base m}(x)
f_{{n,m}-quasiquasi regular, base n}(x)

= 1 + 2nx + 2nx\frac{1 + (m − 2)x + x^{2}}{1 − (mn − 2(m + n) + 2)x^{2} + x^{4}}

f_{\{n,3\}-quasiquasi regular, base n}(x) = 1 + \frac{1 + x + x^{2}}{1 − (n − 4)x^{2} + x^{4}}

= \frac{1 + 2nx + (n + 4)x^{2} + 2nx^{3} + x^{4}}{1 − (n − 4)x^{2} + x^{4}}

f_{\{7,3\}-quasiquasi regular, base 7}(x) = \frac{1 + 14x + 11x^{2} + 14x^{3} + x^{4}}{1 − 3x^{2} + x^{4}}

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 103 Kongruenzuntergruppen

f_{(IH^{2},(γ·F̄)_{γ∈U}),F̄}(x) = \frac{1 + x}{1 − (r − 1)x}
f_{(3,3,∞)}(x) = −3 + x + \frac{4}{1 − 2x} = \frac{1 + 7x − 2x^{2}}{1 − 2x}
f_{(2,3/2,2,∞)}(x) = −17/8 − \frac{1}{4}x − \frac{1}{2}x^{2} + \frac{25}{8} \frac{1}{1 − 2x} = \frac{1 + 4x + x^{3}}{1 − 2x}
f_{(3/2,∞,∞)}(x) = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − 2x^{2}}
f_{Γ̄^{0}(2)}(x) = \frac{1 + 2x − x^{2}}{1 − 3x + x^{2}} = −1 + \frac{2 − x}{1 − 3x + x^{2}}
f_{(2,∞,2,∞)}(x) = −1 + \frac{2}{1 − 3x} = \frac{1 + 3x}{1 − 3x}
f_{(∞,∞,∞)}(x) = −\frac{1}{2} + \frac{3/2}{1 − 2x} = \frac{1 + x}{1 − 2x}
f_{Γ̄^{0}(3)}(x) = −1 + \frac{2}{1 − 3x − x^{2} − x^{3}} = \frac{1 + 3x + x^{2} + x^{3}}{1 − 3x − x^{2} − x^{3}}
f_{(3,∞,3,∞)}(x) = −1 + \frac{2}{1 − 5x} = \frac{1 + 5x}{1 − 5x}
f_{(3/2,∞,∞,∞)}(x) = −\frac{1}{2} + \frac{1}{2} · \frac{3 + 5x}{1 − x − 4x^{2}} = \frac{1 + 3x + 2x^{2}}{1 − x − 4x^{2}}
f_{Γ̄^{0}(5)}(x) = −1 + 2\frac{1 − 2x^{2} + x^{3}}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}}

= \frac{(1 + x)(1 + 3x − x^{2} − x^{3})}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}} = \frac{1 + 4x + 2x^{2} − 2x^{3} − x^{4}}{1 − 4x − 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}}

f_{(2,2,∞,2,2,∞)}(x) = −1 + 2\frac{1 − x}{1 − 6x + x^{2}} = \frac{1 + 4x − x^{2}}{1 − 6x + x^{2}}
f_{(3/2,3/2,3/2,∞,∞,∞)′}(x) = −\frac{3}{7} + \frac{2}{7} · \frac{5 + 11x}{1 − 2x − 7x^{2}} = \frac{(1 + x)(1 + 3x)}{1 − 2x − 7x^{2}}

= \frac{1 + 4x + 3x^{2}}{1 − 2x − 7x^{2}}

f_{(∞,∞,∞,∞)}(x) = −\frac{1}{3} + \frac{4}{3} · \frac{1}{1 − 3x} = \frac{1 + x}{1 − 3x}

Werte der Wachstumsfunktionen an der Stelle 1:

N 1 2 3 4 5 6 7^{∗} 8 9^{∗} 10
f_{Γ̄^{0}(N)}(1) −6 −2 −\frac{3}{2} −1 −1 −\frac{1}{2} −\frac{3}{4} −\frac{1}{2} −\frac{1}{2} −\frac{1}{3}
N 11^{∗} 12 13^{∗} 14 15^{∗} 16 17 18 19 20
f_{Γ̄^{0}(N)}(1) −\frac{1}{2} −\frac{1}{4} −\frac{3}{7} −\frac{1}{4} −\frac{1}{4} −\frac{1}{4}

Die Wachstumsfunktionen der mit ^{∗} markierten Gruppen sind zwar berechnet (zumindest für einen Fundamentalbereich), aber in dieser Arbeit nicht enthalten.

104 Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 3-dimensionale Pflasterungen:

f_{90^{∘}−cube}(x) = −1 + \frac{2 + 20x + 26x^{2}}{1 − 3x + 3x^{2} − x^{3}} = \frac{(1 + x)(1 + 22x + x^{2})}{(1 − x)^{3}}

= \frac{1 + 23x + 23x^{2} + x^{3}}{1 − 3x + 3x^{2} − x^{3}}

f_{90^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + \frac{2 + 62x^{2}}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})}

= \frac{(1 + x)(1 + 30x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})} = \frac{1 + 31x + 31x^{2} + x^{3}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

f_{(0,0,8)−90^{∘}−dodecahedron}(x) = 8\frac{1 + 6x + x^{2}}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})} = \frac{8 + 48x + 8x^{2}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}
f_{72^{∘}−cube}(x) = −1 + 2\frac{1 + 24x + 55x^{2}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

= \frac{(1 + x)(1 + 78x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 30x + x^{2})} = \frac{1 + 79x + 79x^{2} + x^{3}}{1 − 31x + 31x^{2} − x^{3}}

f_{72^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + 2\frac{1 − 32x + 136x^{2}}{1 − 168x + 168x^{2} − x^{3}}

= \frac{(1 + x)(1 + 103x + x^{2})}{(1 − x)(1 − 167x + x^{2})} = \frac{1 + 104x + 104x^{2} + x^{3}}{1 − 168x + 168x^{2} − x^{3}}

f_{90^{∘}−buckyball}(x) = −1 + 2\frac{1 − 58x + 276x^{2} − 358x^{3} + 91x^{4}}{1 − 149x + 634x^{2} − 634x^{3} + 149x^{4} − x^{5}}

= \frac{(1 + x)(1 + 32x − 114x^{2} + 32x^{3} + x^{4})}{(1 − x)(1 − 148x + 486x^{2} − 148x^{3} + x^{4})}

= \frac{1 + 33x − 82x^{2} − 82x^{3} + 33x^{4} + x^{5}}{1 − 149x + 634x^{2} − 634x^{3} + 149x^{4} − x^{5}}

f_{60^{∘}−cube}(x) = \frac{1}{7} + \frac{6}{7} · \frac{1 + 27x}{1 − 22x + 21x^{2}} = \frac{1 + 20x + 3x^{2}}{(1 − x)(1 − 21x)}

= \frac{1 + 20x + 3x^{2}}{1 − 22x + 21x^{2}}

f_{60^{∘}−dodecahedron}(x) = \frac{1}{19} + \frac{6}{19} · \frac{3 + 92x}{(1 − x)(1 − 76x)} = \frac{1 + 25x + 4x^{2}}{(1 − x)(1 − 76x)}

= \frac{1 + 25x + 4x^{2}}{1 − 77x + 76x^{2}}

f_{60^{∘}−tetrahedron}(x) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \frac{1 + 26x}{(1 − x)(1 − 6x)} = \frac{1 + 15x + 2x^{2}}{(1 − x)(1 − 6x)}

= \frac{1 + 15x + 2x^{2}}{1 − 7x + 6x^{2}}

f_{90^{∘}−octahedron}(x) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} · \frac{1 + 14x}{(1 − x)(1 − 10x)} = \frac{1 + 9x + 2x^{2}}{(1 − x)(1 − 10x)}

= \frac{1 + 9x + 2x^{2}}{1 − 11x + 10x^{2}}

Und zum Schluß

f_{90^{∘}−Pacioli}(x) = \frac{1}{23} + \frac{2}{23} · \frac{11 + 169x + 43x^{2} − 1185x^{3} − 1062x^{4}}{(1 − x)(1 − 61x − 55x^{2} + 429x^{3} + 414x^{4})}

= \frac{(1 + x)(1 + 11x − 7x^{2} − 75x^{3} − 18x^{4})}{(1 − x)(1 − 61x − 55x^{2} + 429x^{3} + 414x^{4})}

= \frac{1 + 12x + 4x^{2} − 82x^{3} − 93x^{4} − 18x^{5}}{1 − 62x + 6x^{2} + 484x^{3} − 15x^{4} − 414x^{5}}

Null- und Polstellen

Rechtwinklige Dreiecke: q, r ∈ IN mit 1/q + 1/r ≤ 1/2. Sei a := qr − 2q − 2r. Es gilt a ≥ 0 und a = 0 ⟺ ((q, r) = (3, 6), (q, r) = (4, 4) oder (q, r) = (6, 3)). Der Nenner von f_{(2,q,r)}(x) lautet x^{4} − (a + 2)x^{2} + 1. Daher besitzt f_{(2,q,r)} für a > 0 die Polstellen

Pol_{(2,q,r)} = \{ ±\frac{1}{2}\sqrt{a} ± \frac{1}{2}\sqrt{a + 4} \}

Dreieck  Nullstellen  Polstellen
(2, 3, 6)  −1.4489390 ± 1.5858704 i  1, 1

−.072946906, 2.9708248

(2, 3, 7) −1.5197042, −1.4758498 ± 1.6314707 i ±.6180339887, ±1.618033989
−.66062310, −.064386406, 3.1964134
(2, 3, 8) −1.7553295, −1.5061233 ± 1.6639321 i ±.5176380902, ±1.931851653
−.57814364, −.057482964, 3.4032027
(2, 4, 4) −1.3966174 ± 1.4486502 i 1, 1

−.085781652, 2.8790165

(2, 4, 5) −1.9218063, −1.3694122 ± 1.4720358 i ±.5176380902, ±1.931851653
−.52123003, −.075812001, 3.2576727
(2, 4, 6) −2.3788077, −1.3605904 ± 1.4927528 i ±.4142135624, ±2.414213562
−.42564942, −.067378395, 3.5930163
(2, 5, 5) −2.6180340, −1.3248213 ± 1.4730488 i ±.3819660113, ±2.618033989
−.38196601, −.068521846, 3.7181645
(2, 5, 6) −3.1403976, −1.3021685 ± 1.4813752 i ±.3178372452, ±3.146264370
−.31992912, −.062001171, 4.1266649
(2, 6, 6) −3.7320508, −1.2715301 ± 1.4827624 i ±.2679491924, ±3.732050808
−.26794919, −.056977266, 4.6000375
(2, 4, 9000) −133.65380, −1.3854291 ± 1.5638628 i ±.0074548025, ±134.1417159
−.22914177, −.000055552466, 134.65386
(2, 4, 9001) −133.66126, −1.3854291 ± 1.5638628 i ±.0074543882, ±134.1491705
−.22914177, −.000055546295, 134.66131

Spitzwinklige Dreiecke: (p, q, r) mit p, q, r ∈ ℤ und p, q, r ≥ 3.

Da die Wachstumsfunktionen dieser Dreiecke reziprok sind, sind auch die Null- und Polstellen reziprok. In der folgenden Tabelle gebe ich daher nur die Null- und Polstellen an, welche sich im Einheitskreis befinden. Null- bzw. Polstellen auf dem Einheitskreisrand werden komplett angegeben.

Dreieck  Nullstellen  Polstellen
(3, 3, 3)  −.10102051  1, 1
(3, 3, 4) −.7877855 ± .6159496 i, −.08821286 −.7807764 ± .6248105 i, .4805338
(3, 3, 5)  −.07738371  .3819660
(3, 3, 6)  −.5744027, −.06841704  −.5482303, .3285434
(3, 3, →∞)  → 0, → 2 − \sqrt{3}  → 0, → 0
(3, 4, 4) −.6277187 ± .7784403 i, −.07895396 −.6180340 ± .7861514 i, .3460143
(3, 4, 5) −.6540579 ± .7564445 i −.6414119 ± .7671967 i
−.5091696, −.07068111  −.5055439, .2874392
(3, 4, 6) −.6633160 ± .7483394 i −.6498321 ± .7600778 i
−.4077799, −.06349290  −.3965085, .2521403
(3, 4, →∞) → −.6812707 ± .7320316 i → −2/3 ± \sqrt{5}/3 i
→ −.2026418, → 0  → 0, → 0
(3, 5, 5) −.7056383 ± .7085722 i, −.06441511 −.6861407 ± .7274689 i, .2421214
(3, 5, 6) −.7274885 ± .6861199 i −.7055073 ± .7087027 i
−.3183545, −.05873099  −.3162169, .2138695
(4, 4, 4)  −.07179677  .2679492
(4, 4, 5)  −.4702224, −.06519786  −.4677760, .2284623
(4, 4, 6)  −.3701438, −.05928061  −.3622000, .2032583
(4, 4, →∞)  → 2\sqrt{2} − 3, → 0  → 0, → 0
(4, 5, 5)  −.5972538, −.05999368  −.5954143, .1969284
(4, 5, 6) −.5666930, −.3146580, −.05518524 −.5639413, −.3126084, .1762928
(4, 5, →∞)  → −.5401429, → −.1435767, → 0  → −.5366750, → 0, → 0
(4, 6, 6)  −.5152714, −.05130125  −.5095254, .1583844
(4, 6, 7) −.4966099, −.2359949, −.04769019 −.4893457, −.2347566, .1453050
(5, 5, 5)  −.05572809  .1715729
(5, 5, 6)  −.3023140, −.05171124  −.3009785, .1545860
(5, 5, 7)  −.2591101, −.04799955  −.2548374, .1421101

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 107 Gleichschenklige Dreiecke: Außer bei den Dreiecken der Form (p, p, 1.5) und (p, p, 2) sind alle Wachstumsfunktionen, Null- und Polstellen reziprok.

Dreieck Nullstellen Polstellen
(3, 3, 2.5) −1, −.320551 ± .947231 i, −.1080988
(3, 3, 3 ) −.10102051 1, 1
(3, 3, 3.5)  −.6547921 ± .7558090 i, −.09437487 −.6513878 ± .7587450 i, .5806918
(3, 3, 4 )  −.7877855 ± .6159496 i, −.08821286 −.7807764 ± .6248105 i, .4805338
(3, 3, 4.5)  −.9019238 ± .4318952 i, −.08255184 −.8956439 ± .4447718 i, .4220824
(3, 3, 5 )  −.07738371  .3819660
(3, 3, 5.5)  −.6647712, −.07268357  −.6470091, .352046
(3, 3, 6 )  −.5744027, −.06841704  −.5482303, .3285434
(3, 3, 6.5)  −.5201911, −.06454573  −.4866915, .3094086
(4, 4, 2 )  −1.3966174 ± 1.4486502 i  1, 1
−.085781652, 2.8790165
(4, 4, 2.5)  −.4105458 ± .9118400 i, −.08267033 −.3660254 ± .9306049 i, .4354205
(4, 4, 3 )  −.6277187 ± .7784403 i, −.07895396 −.6180340 ± .7861514 i, .3460143
(4, 4, 3.5)  −.8238250 ± .5668442 i, −.07531804 −.8228757 ± .5682215 i, .2987773
(4, 4, 4 )  −.07179677  .2679492
(4, 4, 4.5)  −.5744027, −.06841704  −.5737719, .2456409
(4, 4, 5 )  −.4702224, −.06519786  −.4677760, .2284623
(5, 5, 2 ) −2.6180340, −1.3248213 ± 1.4730488 i  ±.3819660113, ±2.618033989
−.38196601, −.068521846, 3.7181645
(5, 5, 2.5)  −.4644661 ± .8855909 i, −.06664702 −.3956439 ± .9184040 i, .2852198
(5, 5, 3 )  −.7056383 ± .7085722 i, −.06441511 −.6861407 ± .7274689 i, .2421214
(5, 5, 3.5)  −.9292858 ± .3693615 i, −.06219201 −.9270510 + .3749353 i, .2155862
(5, 5, 4 )  −.5972538, −.05999368  −.5954143, .1969284
(5, 5, 4.5)  −.4553322, −.05783478  −.4548670, .1827982
(6, 6, 1.5)  −.8281563, −.05576917, 7.217259  1, 1
(6, 6, 2 ) −3.7320508, −1.2715301 ± 1.4827624 i  ±.2679491924, ±3.732050808
−.26794919, −.056977266, 4.6000375
(6, 6, 2.5)  −.5000000 ± .8660254 i, −.05572809 −.4142136 ± .9101797 i, .2168453
(7, 7, 1.5) −.8482896, −.04774940, 8.229372 .3819660, 2.618034
(7, 7, 2.5)  −.5250628 ± .8510635 i, −.04784224 −.4270510 ± .9042275 i, .1761189

108 Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen Gleichseitige Dreiecke: alle reziprok

Dreieck  Nullstellen Polstellen
(1 , 1 , 1 )  −1
(1.5, 1.5, 1.5)  −.33333333
(2 , 2 , 2 )  −.17157288
(2.5, 2.5, 2.5) −1, −.12701665
(3 , 3 , 3 ) −.10102051 1, 1
(3.5, 3.5, 3.5)  −.08392022 .3819660
(4 , 4 , 4 )  −.07179677 .2679492
(4.5, 4.5, 4.5)  −.06274607 .2087122
(5 , 5 , 5 )  −.05572809 .1715729
(→ ∞) → 0 → 0

Nichtkompakte Dreiecke: nicht reziprok

Dreieck  Nullstellen Polstellen
(2, 2, ∞) −.2360680, 4.236068 1
(2, 3, ∞) −.7557493, −.1685877, 3.924337 ±.7071068
(2, 4, ∞) −.6820322, −.1282670, 3.810299 ±.5773503
(3, 3, ∞)  −.1374586, 3.637459 .5000000
(3, 4, ∞) −.4200373, −.1123298, 3.532367 ±.4082483
(3, 5, ∞) −.3840079, −.0936028, 3.477611 ±.3535534
(4, 4, ∞)  −.0971675, 3.430501 .3333333
(5, 5, ∞)  −.0751838, 3.325184 .2500000
(1 , ∞, ∞) −1 1
(1.5, ∞, ∞)  −1, −1/2 ±.7071068
(2 , ∞, ∞)  −1, −1/3 ±.5773503
(2.5, ∞, ∞)  −1, −1/4 ±.5000000
(3 , ∞, ∞)  −1, −1/5 ±.4472136
(∞, ∞, ∞)  −1  1/2

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 109 Regelmäßige n-eckige Polygone mit \frac{2π}{m} -Winkeln (\{n, m\}): alle reziprok

Polygon Nullstellen Polstellen
{4, 4} −.1715729  1, 1
{4, 5} −.1270167 .2679492
{4, 6} −.1010205 .1715729
{5, 4} −.1715729 .2679492
{5, 5} −.1270167 .1458980
{5, 6} −.1010205 .1010205
{6, 3} −.2679492  1
{6, 4} −.1715729 .1715729
{6, 5} −.1270167 .1010205

Polygon Nullstellen Polstellen
{7, 3} −.2679492 .3819660
{7, 4} −.1715729 .1270167
{2, ∞}  −1  1
{3, ∞}  −1  1/2
{4, ∞}  −1  1/3
{5, ∞}  −1  1/4
{6, ∞}  −1  1/5

Quasi- und Quasiquasireguläre Pflasterungen: alle reziprok

Pflasterung Nullstellen Polstellen
{4, 4}-quasi, n −.1715729  1
{4, 5}-quasi, n −.2087122 .3819660
{4, 6}-quasi, n −.2679492 .2679492
{5, 4}-quasi, n −.1458980 .3819660
{5, 5}-quasi, n −.1715729 .2679492
{6, 4}-quasi, n −.1270167 .2679492
{6, 5}-quasi, n −.1458980 .2087122
Pflasterung  Nullstellen Polstellen
{4, 4}-quasiquasi, n −.1715729 1
{4, 5}-quasiquasi, n  −.2287127 ± .09130327 i ±.5176381
{4, 6}-quasiquasi, n  −.1636228 ± .1260076 i ±.4142136
{5, 4}-quasiquasi, n −.8416876 ± .5399648 i, −.1220317 ±.5176381
{5, 5}-quasiquasi, n −.1458980 .3819660
{5, 6}-quasiquasi, n  −.1821348 ± .06805115 i ±.3178372
{6, 3}-quasiquasi, n −.3542487 ± .9351513 i, −.08926790 −1, −1, 1, 1
{6, 4}-quasiquasi, n −.7639320 ± .6452967 i, −.09637851 ±.4142136
{6, 5}-quasiquasi, n  −.4884011, −.1068692 ±.3178372
{6, 6}-quasiquasi, n −.1270167 .2679492
{6, 7}-quasiquasi, n  −.1522338 ± .05345727 i ±.2360680
{7, 3}-quasiquasi, n −.3377223 ± .9412458 i, −.07547695 ±.6180340
{7, 4}-quasiquasi, n −.7161178 + .6979794 i, −.08007889 ±.3563940

110 Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen Kongruenzuntergruppen: nicht reziprok

Pflasterung  Nullstellen  Polstellen
(3, 3, ∞)  −.1374586, 3.637459  .5000000
(2, 3/2, 2, ∞) −.2462662, .1231331 ± 2.011339 i  .5000000
(3/2, ∞, ∞)  −1.000000, −.5000000  ±.7071068
Γ̄^{0}(2)  −.4142136, 2.414214  .3819660, 2.618034
(2, ∞, 2, ∞)  −.3333333  .3333333
(∞, ∞, ∞)  −1  .5000000
Γ̄^{0}(3) −.3611031, −.3194485 ± 1.633170 i −.6477989 ± 1.721433 i, .2955977
(3, ∞, 3, ∞)  −.2000000  .2000000
(3/2 ∞ ∞ ∞)  −1.000000, −.5000000  −.6403882, .3903882
Γ̄^{0}(5)  −2.170086, −1  −5.027339, −.6681786
−.3111078, 1.481194  .1989124, 1.496606
(2 2 ∞ 2 2 ∞)  −.2360680, 4.236068  .1715729, 5.828427
(3/2, 3/2, 3/2,  −1.000000, −.3333333  −.5469182, .2612039

∞, ∞, ∞)′

(∞, ∞, ∞, ∞) −1 .3333333

Polyeder: nur die kompakten sind reziprok

Polyeder Nullstellen Polstellen
90^{∘}-cube −21.9544512, −1, −.04554884990  1, 1, 1
72^{∘}-cube −77.9871774, −1, −.01282262076 .0333704529, 1, 29.9666296
90^{∘}-dodecahedron −29.9666296, −1, −.03337045290 .0333704529, 1, 29.9666296
72^{∘}-dodecahedron −102.9902903, −1, −.00970965318 .0059882387, 1, 166.9940118
120^{∘}-icosahedron  ?  ?
60^{∘}-tetrahedron  −7.432729966, −.0672700343  ^{1}/_{6}, 1
90^{∘}-octahedron  −4.386000936, −.1139990637  ^{1}/_{10}, 1
60^{∘}-cube  −6.616285934, −.0503807327  ^{1}/_{21}, 1
60^{∘}-dodecahedron  −6.209740670, −.0402593302  ^{1}/_{76}, 1
90^{∘}-dodecahedron  −5.828427125, −.1715728753 .0333704529, 1, 29.9666296
v_{0} = (0, 0, 8)^{t}
90^{∘}-buckyball −35.2589399, −1, −.02836160141 .006913374, .3317692, 1
.3392015, 2.948100003 3.014143907, 144.6471736
90^{∘}-pacioli −4.033537458, −1, −.4116182248 −1.02305563, −.39687359
−.090648164,  .3691371803  .01618748, .36750986, 1

Funktionswerte in 1 und Residuen

Kompakte Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke: q, r ∈ IN mit 1/q + 1/r ≤ 1/2.

\begin{aligned}f_{(2,3,r)}(1) & = \frac{−12r}{r − 6} \\ f_{(2,q,r)}(1) & = −\frac{6qr − 4q − 4r}{qr − 2q − 2r} \\ f_{(2,3,6)}(1) & = ∞ \\ f_{(2,3,7)}(1) & = −86 = −2 − \frac{2}{1/42} \\ f_{(2,4,4)}(1) & = ∞ \end{aligned}

Spitzwinklige Dreiecke: Σ := p+q+r und Π := pq+pr+qr für p, q, r ∈ ℤ mit p, q, r ≥ 3.

f_{(p,q,r)}(1) = \frac{−2pqr}{pqr − pq − pr − qr} = \frac{−2}{1 − \frac{1}{p} − \frac{1}{q} − \frac{1}{r}}

Gleichschenklige Dreiecke I: p ∈ ℤ mit p ≥ 6.

\begin{aligned}f_{(p,p,3/2)}(1) & = \frac{−6p}{p − 6} \\ f_{(6,6,3/2)}(1) & = ∞ \\ f_{(7,7,3/2)}(1) & = −42 \end{aligned}

Gleichschenklige Dreiecke II: p ∈ ℤ mit (p ≥ 4 und r = 2.5) oder (p ≥ 3 und r ∈ \{\frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}, …\}).

\begin{aligned}f_{(p,p,r)}(1) & = \frac{−2pr}{pr − p − 2r} \\ f_{(3,3,3.5)}(1) & = −42 \\ f_{(4,4,2.5)}(1) & = −20 \end{aligned}

Gleichseitige Dreiecke: p ∈ \frac{1}{2}ℤ mit p ≥ 3.

\begin{aligned}f_{(p,p,p)}(1) & = \frac{−2p}{p − 3} \\ f_{(3,3,3)}(1) & = ∞ \\ f_{(3.5,3.5,3.5)}(1) & = −14 \end{aligned}

Nichtkompakte Dreiecke

\begin{aligned}f_{(p,q,∞)}(1) & = \frac{−2pq}{pq − p − q} \\ f_{(2,3,∞)}(1) & = −12 \\ f_{(5,3,∞)}(1) & = −\frac{30}{7} \\ f_{(p,p,∞)}(1) & = \frac{−2p}{p − 2} \\ f_{(2,2,∞)}(1) & = ∞ \end{aligned}

\begin{aligned}f_{(p,∞,∞)}(1) & = \frac{−2p}{p − 1} \\ f_{(3/2,∞,∞)}(1) & = −6 \\ f_{(2,∞,∞)}(1) & = −4 \\ f_{(5/2,∞,∞)}(1) & = −\frac{10}{3} \\ f_{(3,∞,∞)}(1) & = −3 \end{aligned}

Regelmäßige Polygone

\begin{aligned}f_{\{n,m\}}(1) & = \frac{−2m}{mn − 2n − 2m} \\ f_{\{4,4\}}(1) & = ∞ \\ f_{\{n,∞\}}(1) & = \frac{−2}{n − 2} \end{aligned}

Quasireguläre Pflasterungen

f_{\{n,m\}−quasi regular, base n}(1) = \frac{8 + n − m}{8 − n − m}
f_{\{n,m\}−quasi regular, base m}(1) = \frac{8 − n + m}{8 − n − m}
f_{\{n,m\}−quasiquasi regular, base n}(1) = −\frac{mn + 2n + 2m}{mn − 2n − 2m} = 1 + \frac{−2}{1 − \frac{1}{m} − \frac{1}{m} − \frac{2}{n}}
f_{\{n,3\}−quasiquasi regular, base n}(1) = −\frac{5n + 6}{n − 6} = 1 + \frac{−2}{1 − \frac{1}{3} − \frac{1}{3} − \frac{2}{n}}
f_{{7,3}−quasiquasi regular, base 7}(1) = −41

Kongruenzuntergruppen

\begin{aligned}f_{(IH^{2},(γ·F̄)_{γ∈U}),F̄}(1) & = \frac{−2}{r − 2} \\ f_{(3,3,∞)}(1) & = −6 \\ f_{(2,3/2,2,∞)}(1) & = −6 \\ f_{(3/2,∞,∞)}(1) & = −6 \\ f_{Γ̄^{0}(2)}(1) & = −2 \\ f_{(2,∞,2,∞)}(1) & = −2 \\ f_{(∞,∞,∞)}(1) & = −2 \\ f_{Γ̄^{0}(3)}(1) & = −\frac{3}{2} \\ f_{(3,∞,3,∞)}(1) & = −\frac{3}{2} \\ f_{(3/2,∞,∞,∞)}(1) & = −\frac{3}{2} \\ f_{Γ̄^{0}(5)}(1) & = −1 \\ f_{(2,2,∞,2,2,∞)}(1) & = −1 \\ f_{(3/2,3/2,3/2,∞,∞,∞)′}(1) & = −1 \\ f_{(∞,∞,∞,∞)}(1) & = −1 \end{aligned}

Anhang A: Die berechneten Wachstumsfunktionen 113 Residuen bei 1 der 3-dimensionale Pflasterungen:

f_{90^{∘}−cube}(x) = −1 − 26 · \frac{1}{x−1} − \frac{72}{(x − 1)^{2}} − \frac{48}{(x − 1)^{3}}
f_{90^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + \frac{16}{7} · \frac{1}{x−1} − \frac{30}{7} · \frac{15x − 1}{x^{2} − 30x + 1}
f_{(0,0,8)−90^{∘}−dodecahedron}(x) = 0 + \frac{16}{7} · \frac{1}{x−1} − \frac{72}{7} · \frac{x − 1}{x^{2} − 30x + 1}
f_{72^{∘}−cube}(x) = −1 + \frac{40}{7} · \frac{1}{x−1} − \frac{54}{7} · \frac{15x − 1}{x^{2} − 30x + 1}
f_{72^{∘}−dodecahedron}(x) = −1 + \frac{14}{11} · \frac{1}{x−1} − \frac{18}{11} · \frac{167x − 2}{x^{2} − 167x + 1}
f_{90^{∘}−buckyball}(x) = −1 + \frac{1}{2} · \frac{1}{x−1} − \frac{5}{2} · \frac{73x^{3} − 243x^{2} + 75x − 1}{x^{4} − 148x^{3} + 486x^{2} − 148x + 1}
f_{60^{∘}−cube}(x) = \frac{1}{7} + \frac{6}{5} · \frac{1}{x−1} − \frac{72}{35} · \frac{1}{21x − 1}
f_{60^{∘}−dodecahedron}(x) = \frac{1}{19} + \frac{2}{5} · \frac{1}{x−1} − \frac{128}{95} · \frac{1}{76x − 1}
f_{60^{∘}−tetrahedron}(x) = \frac{1}{3} + \frac{18}{5} · \frac{1}{x−1} − \frac{64}{15} · \frac{1}{6x − 1}
f_{90^{∘}−octahedron}(x) = \frac{1}{5} + \frac{4}{3} · \frac{1}{x−1} − \frac{32}{15} · \frac{1}{10x − 1}
f_{90^{∘}−Pacioli}(x) = \frac{1}{23} + \frac{22}{91} · \frac{1}{x−1} − \frac{12}{23 · 91} · \frac{1350x^{3}+1467x^{2}−200x−209}{414x^{4}+429x^{3}−55x^{2}−61x+1}

Anhang B: Hyperbolische Anaglyphen

Figure  Figure

Figure  Figure

(2, 2, ∞) und 90^{∘}-Würfelpflasterung.

Figure  Figure

90^{∘}-Dodekaederpflasterung.

Figure  Figure

72^{∘}-Würfelpflasterung.

Figure  Figure

Literatur

Im Folgenden gebe ich einige Quellen an, die diese Arbeit in irgendeiner Form beeinflußt haben oder in denen sich weiterführende Bemerkungen befinden. Die Zahlen in eckigen Klammern geben die Seiten an, auf denen die jeweilige Quelle in dieser Arbeit erwähnt wird.

[Benedetti] Benedetti, R. und Petronio, C.: Lectures on Hyperbolic Geometry.

Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. [54]

[Beardon] Beardon, Alan F.: The Geometry of Discrete Groups. Graduate Texts in Math., 91; New York: Springer-Verlag, 1983. [24, 33, 54]

[Beutelspacher] Beutelspacher, Albrecht: ”In Mathe war ich immer schlecht

…“. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1996. [81]

[Cannon] Cannon, James W.: The Combinatorial Structure of Cocompact Discrete Hyperbolic Groups. In: Geometriae Dedicata 16 (1984), 123-148. [i, ii]

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[Fl./Pl.1] Floyd, William J. und Plotnick, Steven P.: Growth functions on Fuchsian groups and the Euler characteristic. In: Inventiones mathematicae 88 (1987), 1-29. [i, ii, 99]

[Fl./Pl.2] Floyd, William J. und Plotnick, Steven P.: Symmetries of planar

growth functions. In: Inventiones mathematicae 93 (1988), 501-543. [ii, 97, 98] [Fl./Pl.3] Floyd, William J. und Plotnick, Steven P.: Growth Functions for

Semi-Regular Tilings of the Hyperbolic Plane. In: Geometriae Dedicata 53 (1994), 1-23. [ii]

[Frisby] Frisby, John P.: Optische Täuschungen. Augsburg: Weltbild Verlag, 1987. Englische Originalausgabe: Seeing, Illusion, Brain and Mind. Oxford University Press, 1979.

[Gale] Gale, David: Tiling Rectangles with Polyominoes. In: Mathematical Intelligencer 18.2 (1996), 38-47. [95]

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[Joyce] Joyce, David E.: Hyperbolic Tessellations.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/poincare.html,

Datum: 4.6.1996. EMail des Autors/der Autorin: djoyce@black.clarku.edu [91]

[Knuth] Knuth, Donald E.: The TEXbook. AMS & Addison-Wesley Publishing Company, 1991. Dieses Buch war eine große Hilfe beim Erstellen dieser Arbeit. Falls das Auge an manchen Stellen dieser Arbeit trotzdem weinen sollte, so liegt es wohl an einer Verschlimmbesserung meinerseits ;-)

[Lang] Lang, Serge: Faszination Mathematik. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1989. [iv] [NotKnot] Epstein, David und Gunn, Charlie: NOT KNOT. Minneapolis: Uni-

versity of Minnesota, Geometry Center. [iv, 68, 71] Viele Informationen zu und Bilder aus Not Knot finden sich in den WWW-Seiten des Geometry Centers http://www.geom.umn.edu/ (die Existenz ist z.Zt. leider nur bis August 1998 gesichert). Ich kenne nur die deutsche Übersetzung, welche im Spektrum Akademischer Verlag erschien.

[Parry] Parry, Walter: Growth Series of Coxeter Groups and Salem Numbers. In: Journal of Algebra 154 (1993), 406-415.

[Ratcliffe] Ratcliffe, John G.: Foundations of Hyperbolic Manifolds. Graduate

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[Roman] Roman, Tiberiu: Reguläre und halbreguläre Polyeder. Thun, Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch, 1987. Titel der rumänischen Ausgabe: Poliedre regulate şi semiregulate.

[Series] Series, Caroline: The growth function of a Fuchsian group. In: ? 281-291. [ii, 98, 99]

[Spitzley] Spitzley, Ruth: Eigenwerte des Laplace-Operators auf Fundamentalbereichen von Untergruppen Γ̄^{0}(n) von PSL_{2}(ℤ). Diplomarbeit Universität Bonn, Juli 1993. [52]

[Thurston] Thurston, William P.: Three-Dimensional Geometry and Topology. Princeton University Press, 1997. [71]

[Thurston2] Thurston, W. P.: Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. In: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 357-381.

Weitere Quellen

[BJSpaul] BJSpaul: 130.gif.

http://www.ex.ac.uk/~BJSpaul/ICAEW/summa/accpics/130.gif,

Datum: 11.8.1996. EMail des Autors/der Autorin: BJSpaul@ex.ac.uk Quelle der digitalisierten Zeichnung von Leonardo da Vinci auf Seite 90. Am 27.4.1997 war kein Zugriff auf das Bild möglich.

[Pacioli] Angela Barbacovi: provincia leonardo.02.jpeg.

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provincia leonardo.02.jpeg,

Datum: 11.8.1996, 27.4.1997. EMail des Autors/der Autorin: ? Quelle des digitalisierten Bildes von Barbari auf Seite 90. Der zugehörige Text

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schede/95-04.Scheda1-ragioniere.html.

Index

3D-Brille: iii  Kreismodell, nichtkonformes: 54
Anaglyphen: iii  Kugelmodell, konformes: 70
Ausnahmedreieck: 49  Kugeloberfläche, (p, p, p): 48
benachbart: 2, 27, 76  Maple: 31
Block: 35  modulares Dreieck: 53
dihedral angle: 68  monohedral: 91
Doppelkantenpolygone: 21  IN = {1, 2, 3, …}
Doppelpyramide, (2, 2, n/2): 44  nichtkonformes Kreismodell: 54
Drache: 24  obere Halbebene: 52, 53
Drache, (3/2, ∞, ∞, ∞): 60  oberer Halbraum: 70
Dreiecksblock: 35  Oktaeder, (2, 2, 2): 48
Dreiecksschale: 27  Paciolipolyeder: 89
dual: 75  Parkettfußboden: 95
Dualität: 75  Pflasterstein: i
IE^{2}: ii  Pflasterung: i
Eckball: 82  Polygone aufpumpen: 10
Eckdreieck: 41  Polygonschale: 27
Ecken im Unendlichen: 10  PSL_{2}(IR): 52
Eckpolygon: 6  PSL_{2}(ℤ): 52
Eckquadrat: 2  Punkte im Unendlichen: 49
Einheitskreis: 54  Quadrat: 10
Euklidischer Algorithmus: 32  Quadratpflasterung: 1
Flächenwürfel: 68  quasiquasireguläre Pflasterung: 92
Γ^{0}(n), Γ̄^{0}(n): 52  quasireguläre Pflasterung: 91
Grundbaustein: 53  Radius vergrößern: 10
Grundfläche: 72, 89  Rechteck: 92
Grundkante: 6  reziprok: 97
IH^{2}, IH^{3}: ii  Rhombenkuboktaeder: 90
halber Kantenwürfel: 84  Schale: i, 2
Heesch-Polygon: 95  Schale, nullte: 3, 21
Hilfsstrecke: 22  Sechseck, (2, 2, 2, ∞, 2, ∞): 65
homöomorph: 59  Sechseck, (2, 2, ∞, 2, 2, ∞): 64
hyperb. perspekt. Darstellung: 71  Sechseck, (3/2, 3/2, 3/2, ∞, ∞, ∞)′: 66
ideal: 83  SL_{2}(ℤ): 52
Ikosaeder, (5/2, 5/2, 5/2): 48  sphärisches Dreieck: 33
Induktion über Schalen: 7  Streifen: 53
Inpolygon: 91  tessellation: i
Isom^{+}(IH^{2}): 52  Tetraeder, (3/2, 3/2, 3/2): 48
Kantendreieck: 41  tiling: i
Kantenpolygon: 6  Unpflasterung: 1
Kantenquadrat: 2  Vektorschreibweise: 9
kantenweise Verklebung: 5  vergraben: 97
Kantenwinkel: 68  Viereck, (2, 3/2, 2, ∞): 55
konform: 54  Viereck, (2, ∞, 2, ∞): 58
Kontakt: 27  Viereck, (3, ∞, 3, ∞): 60
konvex: 7  Wachstumsmatrix: 9
Korrekturterm: 39, 45  Wachstumsreihe: i
Kreismodell, konformes: 10, 54  Würfelmandala: 85

Erklärung

Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.